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10计数原理与组合数学★★★☆☆
一生产过程有 4 道4\text{ 道}工序，每道工序需要安排一人照看. 现从甲，乙，丙等 6 名6\text{ 名}工人中安排 4 人4\text{ 人}分别照看一道工序，第一道工序只能从甲，乙两工人中安排 1 人1\text{ 人}，第四道工序只能从甲，丙两工人中安排 1 人1\text{ 人}，则不同的安排方案共有（ ）
\begin{solution} 若第一道工序安排甲，则第四道工序只能安排丙，此时第二、三道工序从其余 44 人中有序选取，方案数为 A42=12\mathrm A_4^2=12.
若第一道工序安排乙，则第四道工序可安排甲或丙. 对这两种安排，第二、三道工序均有 A42=12\mathrm A_4^2=12 种安排. 因此总方案数为 12+12+12=3612+12+12=36，故选 B. \end{solution}
A.
24 种24\text{ 种}
B.
36 种36\text{ 种}
C.
48 种48\text{ 种}
D.
72 种72\text{ 种}

2008 · 辽宁 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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11解析几何★★★☆☆
已知双曲线 9y2−m2x2=19y^{2} - m^{2}x^{2} = 1（m>0m > 0）的一个顶点到它的一条渐近线的距离为 15\frac{1}{5}，则 m=m =（ ）
\begin{solution} 将双曲线方程化为 y2(13)2−x2(1m)2=1\dfrac{y^2}{(\frac{1}{3})^2}-\dfrac{x^2}{(\frac{1}{m})^2}=1，故其顶点为 (0,13)\left(0,\frac{1}{3}\right) 和 (0,−13)\left(0,-\frac{1}{3}\right)，渐近线为 y=±m3xy=\pm\frac{m}{3}x. 取顶点 (0,13)\left(0,\frac{1}{3}\right) 和渐近线 mx−3y=0mx-3y=0，则点到直线的距离为
∣m⋅0−3⋅13∣m2+9=1m2+9\frac{\left|m\cdot0-3\cdot\frac{1}{3}\right|}{\sqrt{m^2+9}}=\frac{1}{\sqrt{m^2+9}}
由题设 1m2+9=15\dfrac{1}{\sqrt{m^2+9}}=\dfrac{1}{5}，得 m2+9=25m^2+9=25. 又 m>0m>0，所以 m=4m=4，故选 D. \end{solution}
A.
11
B.
22
C.
33
D.
44

2008 · 辽宁 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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15计数原理与组合数学★★★☆☆
(1+x3)(x+1x2)6(1 + x^{3})\left(x + \frac{1}{x^{2}}\right)^{6} 展开式中的常数项为______.
\begin{solution} 在 (x+1x2)6\left(x+\dfrac{1}{x^2}\right)^6 中，若有 jj 个因子取 1x2\dfrac{1}{x^2}，则该项的幂为 x6−3jx^{6-3j}，系数为 C6j\mathrm C_6^j. 乘以 1+x31+x^3 后，常数项有两种来源：
当取 11 时，需 6−3j=06-3j=0，即 j=2j=2，所得系数为 C62=15\mathrm C_6^2=15；
当取 x3x^3 时，需 6−3j+3=06-3j+3=0，即 j=3j=3，所得系数为 C63=20\mathrm C_6^3=20.
所以常数项为 15+20=3515+20=35. \end{solution}

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16不等式★★★☆☆
设 x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)，则函数 y=2sin⁡2x+1sin⁡2xy = \frac{2\sin^2 x + 1}{\sin 2x} 的最小值为______.
\begin{solution} 令 t=tan⁡xt=\tan x. 由于 x∈(0,π2)x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)，所以 t>0t>0. 利用 sin⁡2x=t21+t2\sin^2x=\dfrac{t^2}{1+t^2} 和 sin⁡2x=2t1+t2\sin2x=\dfrac{2t}{1+t^2}，得
y=2sin⁡2x+1sin⁡2x=(3t2+1)(1+t2)2t(1+t2)=3t+1t2y=\frac{2\sin^2x+1}{\sin2x} =\frac{\frac{(3t^2+1)}{(1+t^2)}}{2\frac{t}{(1+t^2)}} =\frac{3t+\frac{1}{t}}{2}
由基本不等式，3t+1t⩾23t⋅1t=233t+\dfrac{1}{t}\geqslant2\sqrt{3t\cdot\dfrac{1}{t}}=2\sqrt{3}，等号当且仅当 3t=1t3t=\dfrac{1}{t}，即 t=13>0t=\dfrac{1}{\sqrt{3}}>0. 该值可以取到，因此函数的最小值为 3\sqrt{3}. \end{solution}

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17三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，内角 AA，BB，CC 对边的边长分别是 aa，bb，cc. 已知 c=2c = 2，C=π3C = \frac{\pi}{3}.
(1) 若 △ABC\triangle ABC 的面积等于 3\sqrt{3}，求 aa，bb； (2) 若 sin⁡B=2sin⁡A\sin B = 2\sin A，求 △ABC\triangle ABC 的面积.

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18概率与统计★★★☆☆
某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近 100 周100\text{ 周}的统计结果如下表所示：
(1) 根据上面统计结果，求周销售量分别为 2 吨2\text{ 吨}，3 吨3\text{ 吨}和 4 吨4\text{ 吨}的频率； (2) 若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求
(i) 4 周4\text{ 周}中该种商品至少有一周的销售量为 4 吨4\text{ 吨}的概率； (ii) 该种商品 4 周4\text{ 周}的销售量总和至少为 15 吨15\text{ 吨}的概率.

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