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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知集合 M={x∣−3<x<1}M = \{x \mid -3 < x < 1\}，N={x∣x⩽−3}N = \{x \mid x \leqslant -3\}，则 M∪N=M \cup N =（ ）
\begin{solution} 由集合定义，M=(−3,1)M=\left(-3,1\right)，N=(−∞,−3]N=\left(-\infty,-3\right]. 因为 −3-3 属于 NN，所以 M∪N=(−∞,1)M\cup N=\left(-\infty,1\right)，这正是选项 D 所表示的集合，故选 D. \end{solution}
A.
∅\varnothing
B.
{x∣x⩾−3}\{x\mid x\geqslant -3\}
C.
{x∣x⩾1}\{x\mid x\geqslant 1\}
D.
{x∣x<1}\{x\mid x < 1\}

2008 · 辽宁 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02函数与初等函数★☆☆☆☆
若函数 y=(x+1)(x−a)y = (x + 1)(x - a) 为偶函数，则 a=a =（ ）
\begin{solution} 展开函数得 y=x2+(1−a)x−ay=x^2+(1-a)x-a. 偶函数满足 f(−x)=f(x)f(-x)=f(x)，因此一次项系数必须为零，即 1−a=01-a=0，解得 a=1a=1. 故选 C. \end{solution}
A.
−2-2
B.
−1-1
C.
11
D.
22

2008 · 辽宁 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03解析几何★★☆☆☆
圆 x2+y2=1x^{2} + y^{2} = 1 与直线 y=kx+2y = kx + 2 没有公共点的充要条件是（ ）
\begin{solution} 直线可写为 kx−y+2=0kx-y+2=0，圆心为原点，半径为 11. 圆心到直线的距离为 2k2+1\dfrac{2}{\sqrt{k^2+1}}. 直线与圆没有公共点，当且仅当该距离大于半径，即 2k2+1>1\dfrac{2}{\sqrt{k^2+1}}>1，所以 k2<3k^2<3，从而 k∈(−3,3)k\in\left(-\sqrt{3},\sqrt{3}\right). 当 k2=3k^2=3 时直线与圆相切，不能取等号，故选 B. \end{solution}
A.
k∈(−2,2)k \in (-\sqrt{2}, \sqrt{2})
B.
k∈(−3,3)k \in (-\sqrt{3}, \sqrt{3})
C.
k∈(−∞,−2)∪(2,+∞)k \in (-\infty, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, +\infty)
D.
k∈(−∞,−3)∪(3,+∞)k \in (-\infty, -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, +\infty)

2008 · 辽宁 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04★☆☆☆☆
已知 0<a<10 < a < 1，x=log⁡a2+log⁡a3x = \log_a\sqrt{2} + \log_a\sqrt{3}，y=12log⁡a5y = \frac{1}{2}\log_a\sqrt{5}，z=log⁡a21−log⁡a3z = \log_a\sqrt{21} - \log_a\sqrt{3}. 则（ ）
\begin{solution} 利用对数的运算性质，x=log⁡a6x=\log_a\sqrt{6}，y=log⁡a54y=\log_a\sqrt[4]{5}，z=log⁡a7z=\log_a\sqrt{7}. 对正数比较可得 (7)2=7>6=(6)2(\sqrt{7})^2=7>6=(\sqrt{6})^2，且 (6)4=36>5=(54)4(\sqrt{6})^4=36>5=(\sqrt[4]{5})^4，所以 7>6>54\sqrt{7}>\sqrt{6}>\sqrt[4]{5}. 又 0<a<10<a<1 时函数 log⁡at\log_a t 在正数范围内单调递减，所以 z<x<yz<x<y. 因而 y>x>zy>x>z，故选 C. \end{solution}
A.
x>y>zx > y > z
B.
z>y>xz > y > x
C.
y>x>zy > x > z
D.
z>x>yz > x > y

2008 · 辽宁 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05平面向量★☆☆☆☆
已知四边形 ABCDABCD 的三个顶点 A(0,2)A(0,2)，B(−1,−2)B(-1,-2)，C(3,1)C(3,1)，且 BC→=2AD→\overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{AD}，则顶点 DD 的坐标为（ ）
\begin{solution} BC→=(3−(−1),1−(−2))=(4,3)\overrightarrow{BC}=(3-(-1),1-(-2))=(4,3). 由 BC→=2AD→\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{AD}，得 AD→=(2,32)\overrightarrow{AD}=\left(2,\frac{3}{2}\right). 因此 D=A+AD→=(0,2)+(2,32)=(2,72)D=A+\overrightarrow{AD}=\left(0,2\right)+\left(2,\frac{3}{2}\right)=\left(2,\frac{7}{2}\right)，故选 A. \end{solution}
A.
(2,72)\left(2,\frac{7}{2}\right)
B.
(2,−12)\left(2,-\frac{1}{2}\right)
C.
(3,2)(3, 2)
D.
(1,3)(1,3)

2008 · 辽宁 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06导数及其应用★★☆☆☆
设 PP 为曲线 C:y=x2+2x+3C: y = x^{2} + 2x + 3 上的点，且曲线 CC 在点 PP 处切线倾斜角的取值范围是 [0,π4]\left[0, \frac{\pi}{4}\right]，则点 PP 横坐标的取值范围是（ ）
\begin{solution} 曲线 y=x2+2x+3y=x^2+2x+3 在横坐标为 xx 的点处的切线斜率为 y′=2x+2y'=2x+2. 切线倾斜角 θ∈[0,π4]\theta\in\left[0,\frac{\pi}{4}\right] 时，tan⁡θ∈[0,1]\tan\theta\in[0,1]，所以 0⩽2x+2⩽10\leqslant2x+2\leqslant1. 解得 −1⩽x⩽−12-1\leqslant x\leqslant-\frac{1}{2}，故选 A. \end{solution}
A.
[−1,−12]\left[-1, -\frac{1}{2}\right]
B.
[−1,0][-1, 0]
C.
[0,1][0, 1]
D.
[12,1]\left[\frac{1}{2}, 1\right]

2008 · 辽宁 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07概率与统计★★☆☆☆
4 张4\text{ 张}卡片上分别写有数字 11，22，33，44，从这 4 张4\text{ 张}卡片中随机抽取 2 张2\text{ 张}，则取出的 2 张2\text{ 张}卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ）
\begin{solution} 从 11，22，33，44 中抽取 22 张的基本事件总数为 C42=6\mathrm C_4^2=6. 两数之和为奇数，当且仅当抽到一张奇数卡片和一张偶数卡片，因此有 C21C21=4\mathrm C_2^1\mathrm C_2^1=4 个有利事件. 所求概率为 46=23\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}，故选 C. \end{solution}
A.
13\frac{1}{3}
B.
12\frac{1}{2}
C.
23\frac{2}{3}
D.
34\frac{3}{4}

2008 · 辽宁 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★☆☆☆
将函数 y=2x+1y = 2^{x} + 1 的图象按向量 a\boldsymbol{a} 平移得到函数 y=2x+1y = 2^{x + 1} 的图象，则（ ）
\begin{solution} 设平移向量为 a=(u,v)\boldsymbol{a}=(u,v). 将 y=2x+1y=2^x+1 的图象向右、向上分别平移 uu、vv 后，所得图象方程为 y=2x−u+1+vy=2^{x-u}+1+v. 要使它恒等于 y=2x+1y=2^{x+1}，必须有 −u=1-u=1 且 1+v=01+v=0，所以 u=−1u=-1，v=−1v=-1. 因而 a=(−1,−1)\boldsymbol{a}=(-1,-1)，故选 A. \end{solution}
A.
a=(−1,−1)\boldsymbol{a} = (-1, - 1)
B.
a=(1,−1)\boldsymbol{a} = (1, - 1)
C.
a=(1,1)\boldsymbol{a} = (1,1)
D.
a=(−1,1)\boldsymbol{a} = (-1,1)

2008 · 辽宁 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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09不等式★★☆☆☆
已知变量 xx，yy 满足约束条件
{y+x−1⩽0,y−3x−1⩽0,y−x+1⩾0.\begin{cases} y + x - 1 \leqslant 0,\\ y - 3x - 1 \leqslant 0,\\ y - x + 1 \geqslant 0. \end{cases}
，则 z=2x+yz = 2x + y 的最大值为（ ）
\begin{solution} 三个约束分别化为 y⩽1−xy\leqslant1-x、y⩽3x+1y\leqslant3x+1 和 y⩾x−1y\geqslant x-1. 可行域的三个顶点由边界直线两两相交得到： (−1,−2)(-1,-2)，(0,1)(0,1)，(1,0)(1,0). 因为 z=2x+yz=2x+y 是线性函数，只需比较它在三个顶点处的值： z=−4z=-4、z=1z=1、z=2z=2. 最大值为 22，故选 B. \end{solution}
A.
44
B.
22
C.
11
D.
−4-4

2008 · 辽宁 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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10计数原理与组合数学★★★☆☆
一生产过程有 4 道4\text{ 道}工序，每道工序需要安排一人照看. 现从甲，乙，丙等 6 名6\text{ 名}工人中安排 4 人4\text{ 人}分别照看一道工序，第一道工序只能从甲，乙两工人中安排 1 人1\text{ 人}，第四道工序只能从甲，丙两工人中安排 1 人1\text{ 人}，则不同的安排方案共有（ ）
\begin{solution} 若第一道工序安排甲，则第四道工序只能安排丙，此时第二、三道工序从其余 44 人中有序选取，方案数为 A42=12\mathrm A_4^2=12.
若第一道工序安排乙，则第四道工序可安排甲或丙. 对这两种安排，第二、三道工序均有 A42=12\mathrm A_4^2=12 种安排. 因此总方案数为 12+12+12=3612+12+12=36，故选 B. \end{solution}
A.
24 种24\text{ 种}
B.
36 种36\text{ 种}
C.
48 种48\text{ 种}
D.
72 种72\text{ 种}

2008 · 辽宁 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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11解析几何★★★☆☆
已知双曲线 9y2−m2x2=19y^{2} - m^{2}x^{2} = 1（m>0m > 0）的一个顶点到它的一条渐近线的距离为 15\frac{1}{5}，则 m=m =（ ）
\begin{solution} 将双曲线方程化为 y2(13)2−x2(1m)2=1\dfrac{y^2}{(\frac{1}{3})^2}-\dfrac{x^2}{(\frac{1}{m})^2}=1，故其顶点为 (0,13)\left(0,\frac{1}{3}\right) 和 (0,−13)\left(0,-\frac{1}{3}\right)，渐近线为 y=±m3xy=\pm\frac{m}{3}x. 取顶点 (0,13)\left(0,\frac{1}{3}\right) 和渐近线 mx−3y=0mx-3y=0，则点到直线的距离为
∣m⋅0−3⋅13∣m2+9=1m2+9\frac{\left|m\cdot0-3\cdot\frac{1}{3}\right|}{\sqrt{m^2+9}}=\frac{1}{\sqrt{m^2+9}}
由题设 1m2+9=15\dfrac{1}{\sqrt{m^2+9}}=\dfrac{1}{5}，得 m2+9=25m^2+9=25. 又 m>0m>0，所以 m=4m=4，故选 D. \end{solution}
A.
11
B.
22
C.
33
D.
44

2008 · 辽宁 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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12立体几何初步★★★★☆
在正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，EE，FF 分别为棱 AA1AA_{1}，CC1CC_{1} 的中点，则在空间中与三条直线 A1D1A_{1}D_{1}，EFEF，CDCD 都相交的直线（ ）
\begin{solution} 建立坐标系，取 A(0,0,0)A(0,0,0)，B(1,0,0)B(1,0,0)，C(1,1,0)C(1,1,0)，D(0,1,0)D(0,1,0)，A1(0,0,1)A_1(0,0,1)，D1(0,1,1)D_1(0,1,1). 由于 EE、FF 分别是 AA1AA_1、CC1CC_1 的中点， E(0,0,12)E(0,0,\frac{1}{2})、F(1,1,12)F(1,1,\frac{1}{2}). 因而直线 EFEF 的方程为 x=yx=y， z=12\ z=\frac{1}{2}.
任取 t∈Rt\in\mathbb R，取 Xt(0,t,1)∈A1D1X_t(0,t,1)\in A_1D_1 和 Zt(t+1,1,0)∈CDZ_t(t+1,1,0)\in CD. 直线 XtZtX_tZ_t 与平面 z=12z=\frac{1}{2} 的交点为
Yt=Xt+Zt2=(t+12,t+12,12)∈EFY_t=\frac{X_t+Z_t}{2}=\left(\frac{t+1}{2},\frac{t+1}{2},\frac{1}{2}\right)\in EF
所以直线 XtZtX_tZ_t 同时经过 A1D1A_1D_1 上的 XtX_t、CDCD 上的 ZtZ_t 和 EFEF 上的 YtY_t. 不同的 tt 给出不同的直线，故这样的直线有无数条，选 D. \end{solution}
A.
不存在
B.
有且只有两条
C.
有且只有三条
D.
有无数条

2008 · 辽宁 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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13指数函数与对数函数★☆☆☆☆
函数 y=e2x+1y = \mathrm{e}^{2x + 1}（−∞<x<+∞-\infty < x < +\infty）的反函数是______.
\begin{solution} 由 y=e2x+1y=\mathrm{e}^{2x+1} 得 y>0y>0，且 ln⁡y=2x+1\ln y=2x+1，所以 x=ln⁡y−12x=\dfrac{\ln y-1}{2}. 交换 xx、yy 得反函数 y=12(ln⁡x−1)y=\dfrac{1}{2}(\ln x-1)，其定义域为原函数的值域 x>0x>0. \end{solution}

2008 · 辽宁 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14立体几何初步★★★★☆
在体积为 43π4\sqrt{3}\pi 的球的表面上有 AA，BB，CC 三点，AB=1AB = 1，BC=2BC = \sqrt{2}，AA，CC 两点的球面距离为 33π\frac{\sqrt{3}}{3}\pi，则球心到平面 ABCABC 的距离为______.
\begin{solution} 设球的半径为 RR. 由球的体积公式， 43πR3=43π\dfrac{4}{3}\pi R^3=4\sqrt{3}\pi，所以 R3=33R^3=3\sqrt{3}，即 R=3R=\sqrt{3}.
设球心为 OO. 由 ACAC 的球面距离为 33π\dfrac{\sqrt{3}}{3}\pi，得 ∠AOC=(33)π3=π3\angle AOC=\dfrac{(\frac{\sqrt{3}}{3})\pi}{\sqrt{3}}=\dfrac{\pi}{3}. 因而 AC=2Rsin⁡∠AOC2=23sin⁡π6=3AC=2R\sin\dfrac{\angle AOC}{2}=2\sqrt{3}\sin\dfrac{\pi}{6}=\sqrt{3}. 又 AB2+BC2=1+2=3=AC2AB^2+BC^2=1+2=3=AC^2，所以 ∠ABC=π2\angle ABC=\dfrac{\pi}{2}. 直角三角形 ABCABC 的外接圆半径为 AC2=32\dfrac{AC}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
设 HH 为球心 OO 到平面 ABCABC 的垂足. 由于 OA=OB=OCOA=OB=OC，点 HH 是三角形 ABCABC 的外心，所以
OH2+(32)2=R2OH^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=R^2
从而 OH2=3−34=94OH^2=3-\dfrac{3}{4}=\dfrac{9}{4}，故球心到平面 ABCABC 的距离为 OH=32OH=\dfrac{3}{2}. \end{solution}

2008 · 辽宁 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15计数原理与组合数学★★★☆☆
(1+x3)(x+1x2)6(1 + x^{3})\left(x + \frac{1}{x^{2}}\right)^{6} 展开式中的常数项为______.
\begin{solution} 在 (x+1x2)6\left(x+\dfrac{1}{x^2}\right)^6 中，若有 jj 个因子取 1x2\dfrac{1}{x^2}，则该项的幂为 x6−3jx^{6-3j}，系数为 C6j\mathrm C_6^j. 乘以 1+x31+x^3 后，常数项有两种来源：
当取 11 时，需 6−3j=06-3j=0，即 j=2j=2，所得系数为 C62=15\mathrm C_6^2=15；
当取 x3x^3 时，需 6−3j+3=06-3j+3=0，即 j=3j=3，所得系数为 C63=20\mathrm C_6^3=20.
所以常数项为 15+20=3515+20=35. \end{solution}

2008 · 辽宁 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16不等式★★★☆☆
设 x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)，则函数 y=2sin⁡2x+1sin⁡2xy = \frac{2\sin^2 x + 1}{\sin 2x} 的最小值为______.
\begin{solution} 令 t=tan⁡xt=\tan x. 由于 x∈(0,π2)x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)，所以 t>0t>0. 利用 sin⁡2x=t21+t2\sin^2x=\dfrac{t^2}{1+t^2} 和 sin⁡2x=2t1+t2\sin2x=\dfrac{2t}{1+t^2}，得
y=2sin⁡2x+1sin⁡2x=(3t2+1)(1+t2)2t(1+t2)=3t+1t2y=\frac{2\sin^2x+1}{\sin2x} =\frac{\frac{(3t^2+1)}{(1+t^2)}}{2\frac{t}{(1+t^2)}} =\frac{3t+\frac{1}{t}}{2}
由基本不等式，3t+1t⩾23t⋅1t=233t+\dfrac{1}{t}\geqslant2\sqrt{3t\cdot\dfrac{1}{t}}=2\sqrt{3}，等号当且仅当 3t=1t3t=\dfrac{1}{t}，即 t=13>0t=\dfrac{1}{\sqrt{3}}>0. 该值可以取到，因此函数的最小值为 3\sqrt{3}. \end{solution}

2008 · 辽宁 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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17三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，内角 AA，BB，CC 对边的边长分别是 aa，bb，cc. 已知 c=2c = 2，C=π3C = \frac{\pi}{3}.
(1) 若 △ABC\triangle ABC 的面积等于 3\sqrt{3}，求 aa，bb； (2) 若 sin⁡B=2sin⁡A\sin B = 2\sin A，求 △ABC\triangle ABC 的面积.

2008 · 辽宁 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近 100 周100\text{ 周}的统计结果如下表所示：
(1) 根据上面统计结果，求周销售量分别为 2 吨2\text{ 吨}，3 吨3\text{ 吨}和 4 吨4\text{ 吨}的频率； (2) 若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求
(i) 4 周4\text{ 周}中该种商品至少有一周的销售量为 4 吨4\text{ 吨}的概率； (ii) 该种商品 4 周4\text{ 周}的销售量总和至少为 15 吨15\text{ 吨}的概率.

2008 · 辽宁 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，在棱长为 11 的正方体 ABCD−A′B′C′D′ABCD - A'B'C'D' 中，AP=BQ=bAP = BQ = b（0<b<10 < b < 1），截面 PQEF∥A′DPQEF \parallel A'D，截面 PQGH∥AD′PQGH \parallel AD'.
(1) 证明：平面 PQEFPQEF 和平面 PQGHPQGH 互相垂直； (2) 证明：截面 PQEFPQEF 和截面 PQGHPQGH 面积之和是定值，并求出这个值； (3) 若 b=12b = \frac{1}{2}，求 D′ED'E 与平面 PQEFPQEF 所成角的正弦值.

2008 · 辽宁 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20数列★★★★☆
在数列 {an}\{a_{n}\}，{bn}\{b_{n}\} 是各项均为正数的等比数列，设 cn=bnanc_{n} = \frac{b_{n}}{a_{n}}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}）.
(1) 数列 {cn}\{c_{n}\} 是否为等比数列？证明你的结论； (2) 设数列 {ln⁡an}\{\ln a_n\}，{ln⁡bn}\{\ln b_n\} 的前 nn 项和分别为 SnS_n，TnT_n. 若 a1=2a_1 = 2，SnTn=n2n+1\frac{S_n}{T_n} = \frac{n}{2n + 1}，求数列 {cn}\{c_n\} 的前 nn 项和.

2008 · 辽宁 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，点 PP 到两点 (0,−3)(0, -\sqrt{3})，(0,3)(0, \sqrt{3}) 的距离之和为 44，设点 PP 的轨迹为 CC.
(1) 写出 CC 的方程； (2) 设直线 y=kx+1y = kx + 1 与 CC 交于 AA，BB 两点，kk 为何值时 OA→⊥OB→\overrightarrow{OA} \perp \overrightarrow{OB}？此时 ∣AB∣\lvert AB\rvert 的值是多少？

2008 · 辽宁 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=ax3+bx2−3a2x+1f(x) = ax^3 + bx^2 - 3a^2x + 1（aa，b∈Rb \in \mathbf{R}）在 x=x1x = x_1，x=x2x = x_2 处取得极值，且 ∣x1−x2∣=2\lvert x_1 - x_2\rvert = 2.
(1) 若 a=1a = 1，求 bb 的值，并求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 若 a>0a > 0，求 bb 的取值范围.

2008 · 辽宁 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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