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04解析几何★★★☆☆
设 F1F_{1}，F2F_{2} 是椭圆 E:x2a2+y2b2=1E: \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1（a>b>0a > b > 0）的左，右焦点，PP 为直线 x=3a2x = \frac{3a}{2} 上一点，△F2PF1\triangle F_{2}PF_{1} 是底角为 30∘30^{\circ} 的等腰三角形，则 EE 的离心率为（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 设椭圆半焦距为 cc，则 F1=(−c,0)F_1=(-c,0)，F2=(c,0)F_2=(c,0)，且 c=aec=ae. 等腰三角形的两个底角为 30∘30^{\circ}，所以顶角为 120∘120^{\circ}. 由于 PP 的横坐标为 3a2>c\frac{3a}{2}>c，有 PF1>PF2PF_1>PF_2，且 PF1⩾3a2+c>2c=F1F2PF_1\geqslant\frac{3a}{2}+c>2c=F_1F_2，故等腰三角形的两腰只能是 PF2PF_2 和 F1F2F_1F_2，即 PF2=F1F2=2cPF_2=F_1F_2=2c，另一腰 PF1=23cPF_1=2\sqrt{3}c. 在 F1F_1 处向 F1F2F_1F_2 作投影可得 3a2+c=PF1cos⁡30∘=3c\frac{3a}{2}+c=PF_1\cos30^{\circ}=3c. 于是 c=3a4c=\frac{3a}{4}，故离心率 e=ca=34e=\frac{c}{a}=\frac34，应选 C. \end{solution}
A.
12\frac{1}{2}
B.
23\frac{2}{3}
C.
34\frac{3}{4}
D.
45\frac{4}{5}

2012 · 全国 · 新课程卷 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05不等式★★★☆☆
已知正三角形 ABCABC 的顶点 A(1,1)A(1,1)，B(1,3)B(1,3)，顶点 CC 在第一象限，若点 (x,y)(x,y) 在 △ABC\triangle ABC 内部，则 z=−x+yz = -x + y 的取值范围是（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 由 AB=2AB=2，且 CC 在第一象限，正三角形的第三个顶点为 C(1+3,2)C(1+\sqrt3,2). 线性函数 z=−x+yz=-x+y 在三角形闭区域上的最大、最小值分别在顶点处取得，而 zA=0z_A=0，zB=2z_B=2，zC=1−3z_C=1-\sqrt3. 由于题目取三角形内部，不包含边界，故 1−3<z<21-\sqrt3<z<2，应选 A. \end{solution}
A.
(1−3,2)(1-\sqrt{3},2)
B.
(0,2)(0,2)
C.
(3−1,2)(\sqrt{3} - 1, 2)
D.
(0,1+3)(0, 1 + \sqrt{3})

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10解析几何★★★☆☆
等轴双曲线 CC 的中心在原点，焦点在 xx 轴上，CC 与抛物线 y2=16xy^{2} = 16x 的准线交于 AA，BB 两点，∣AB∣=43|AB| = 4\sqrt{3}，则 CC 的实轴长为（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 抛物线 y2=16xy^2=16x 的准线为 x=−4x=-4. 设等轴双曲线为 x2−y2=a2x^2-y^2=a^2，则两交点的横坐标均为 −4-4，由 ∣AB∣=43|AB|=4\sqrt3 得交点纵坐标为 ±23\pm2\sqrt3. 代入双曲线方程，得 16−12=a216-12=a^2，所以 a=2a=2. 等轴双曲线的实轴长为 2a=42a=4，应选 C. \end{solution}
A.
2\sqrt{2}
B.
222\sqrt{2}
C.
44
D.
88

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17三角函数★★★☆☆
已知 aa，bb，cc 分别为 △ABC\triangle ABC 三个内角 AA，BB，CC 的对边，acos⁡C+3asin⁡C−b−c=0a \cos C + \sqrt{3} a \sin C - b - c = 0.
(1) 求 AA； (2) 若 a=2a = 2，△ABC\triangle ABC 的面积为 3\sqrt{3}，求 bb，cc.

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18函数与初等函数★★★☆☆
某花店每天以每枝 55 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝 1010 元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.
(1) 若花店一天购进 1616 枝玫瑰花，当天的利润 yy（单位：元）关于当天需求量 nn（单位：枝，n∈Nn \in \mathbf{N}）的函数解析式； (2) 花店记录了 100100 天玫瑰花的需求量（单位：枝），整理得下表：
以 100100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
(i) 假设花店在这 100100 天内每天购进 1717 枝玫瑰花，求这 100100 天的日利润（单位：元）的平均数； (ii) 若花店一天购进 1717 枝玫瑰花，以 100100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于 7575 元的概率.

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1} 中，侧棱垂直底面，∠ACB=90∘\angle ACB = 90^{\circ}，AC=BC=12AA1AC = BC = \frac{1}{2} AA_{1}，DD 是棱 AA1AA_{1} 的中点.
(1) 证明：平面 BDC1⊥BDC_{1} \perp 平面 BDCBDC； (2) 平面 BDC1BDC_{1} 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.

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22立体几何初步★★★☆☆
如图，DD，EE 分别为 △ABC\triangle ABC 边 ABAB，ACAC 的中点，直线 DEDE 交 △ABC\triangle ABC 的外接圆于 FF，GG 两点. 若 CF∥ABCF\parallel AB，证明：
(1) CD=BCCD = BC； (2) △BCD∼△GBD\triangle BCD \sim \triangle GBD.

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24不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣x+a∣+∣x−2∣f(x) = |x + a| + |x - 2|.
(1) 当 a=−3a = -3 时，求不等式 f(x)⩾3f(x) \geqslant 3 的解集； (2) 若 f(x)⩽∣x−4∣f(x) \leqslant |x - 4| 的解集包含 [1,2][1,2]，求 aa 的取值范围.

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