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21数列★★★☆☆
若无穷等差数列 {an}\{a_{n}\} 的首项 a1>0a_{1} > 0，公差 d<0d < 0， {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}，则（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 因为 an=a1+(n−1)da_n=a_1+(n-1)d，且 d<0d<0，所以 ana_n 随 nn 严格递减，并且 an→−∞a_n\to-\infty. 又 Sn+1−Sn=an+1S_{n+1}-S_n=a_{n+1}，而 an+1a_{n+1} 随 nn 严格递减且最终为负，所以 SnS_n 的增减趋势至多从增大变为减小；若某项 an+1=0a_{n+1}=0，则相邻两项 SnS_n 和 Sn+1S_{n+1} 相等. 因此 SnS_n 必有最大值. 又
Sn=n2(2a1+(n−1)d)→−∞S_n=\frac{n}{2}\bigl(2a_1+(n-1)d\bigr)\to-\infty
所以没有最小值. 故选 C. \end{solution}
A.
SnS_{n} 单调递减
B.
SnS_{n} 单调递增
C.
SnS_{n} 有最大值
D.
SnS_{n} 有最小值

2015 · 上海 · 春季 · 第 21 题 · 选择题

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24集合与逻辑基础★★★☆☆
设集合 P1={x∣x2+ax+1>0}P_1 = \left\{ x \mid x^2 + ax + 1 > 0 \right\}， P2={x∣x2+ax+2>0}P_2 = \left\{ x \mid x^2 + ax + 2 > 0 \right\}， Q1={x∣x2+x+b>0}Q_1 = \left\{ x \mid x^2 + x + b > 0 \right\}， Q2={x∣x2+2x+b>0}Q_2 = \left\{ x \mid x^2 + 2x + b > 0 \right\} 其中 aa，b∈Rb \in \mathbf{R}，下列说法正确的是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 若 x∈P1x\in P_1，则 x2+ax+1>0x^2+ax+1>0，从而 x2+ax+2=(x2+ax+1)+1>0x^2+ax+2=(x^2+ax+1)+1>0，所以对任意 aa，都有 P1⊆P2P_1\subseteq P_2.
取 b>1b>1，则 x2+x+b>0x^2+x+b>0 和 x2+2x+b>0x^2+2x+b>0 的判别式分别为 1−4b<01-4b<0 和 4−4b<04-4b<0，于是 Q1=Q2=RQ_1=Q_2=\mathbf{R}，特别地 Q1⊆Q2Q_1\subseteq Q_2. 因此选项 B 正确. \end{solution}
A.
对任意 aa， P1P_1 是 P2P_2 的子集；对任意的 bb， Q1Q_1 不是 Q2Q_2 的子集
B.
对任意 aa， P1P_1 是 P2P_2 的子集；存在 bb，使得 Q1Q_1 是 Q2Q_2 的子集
C.
存在 aa，使得 P1P_1 不是 P2P_2 的子集；对任意的 bb， Q1Q_1 不是 Q2Q_2 的子集
D.
存在 aa，使得 P1P_1 不是 P2P_2 的子集；存在 bb，使得 Q1Q_1 是 Q2Q_2 的子集

2015 · 上海 · 春季 · 第 24 题 · 选择题

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27三角函数★★★☆☆
某船在海平面 AA 处测得灯塔 BB 在北偏东 30∘30^{\circ} 方向，与 AA 相距 6.0 海里6.0\text{ 海里}. 船由 AA 向正北方向航行 8.1 海里8.1\text{ 海里} 到达 CC 处，这时灯塔 BB 与船相距多少海里（精确到 0.1 海里0.1\text{ 海里} ）？BB 在船的什么方向（精确到 1∘1^{\circ}）？
\begin{solution} 以 AA 为原点，正东方向为横轴正向，正北方向为纵轴正向. 由 AB=6.0AB=6.0 海里且 BB 在北偏东 30∘30^{\circ} 方向，得 BB 的坐标为 (6sin⁡30∘,6cos⁡30∘)=(3,33)\left(6\sin30^{\circ},6\cos30^{\circ}\right)=\left(3,3\sqrt3\right). 船向正北航行 8.18.1 海里，所以 C=(0,8.1)C=(0,8.1).
因此 CB→=(3,33−8.1)\overrightarrow{CB}=\left(3,3\sqrt3-8.1\right)，从而
CB=32+(8.1−33)2≈4.175 海里CB=\sqrt{3^2+(8.1-3\sqrt3)^2}\approx4.175\text{ 海里}
精确到 0.10.1 海里为 4.24.2 海里.
由于 33<8.13\sqrt3<8.1，点 BB 位于点 CC 的东南方向. 设 α\alpha 为南偏东的角，则 tan⁡α=38.1−33\tan\alpha=\frac{3}{8.1-3\sqrt3}，所以 α≈45.96∘\alpha\approx45.96^{\circ}. 精确到 1∘1^{\circ}，得 BB 在船的南偏东 46∘46^{\circ} 方向. \end{solution}

2015 · 上海 · 春季 · 第 27 题 · 解答题

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31不等式★★★☆☆
对于任意实数 aa， bb， (a−b)2≥kab(a-b)^2 \geq kab 均成立，则实数 kk 的取值范围是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 原不等式等价于 a2−(k+2)ab+b2≥0a^2-(k+2)ab+b^2\geq0 对任意实数 aa，bb 成立. 当 b≠0b\neq0 时令 t=abt=\frac ab，则必须有 t2−(k+2)t+1≥0t^2-(k+2)t+1\geq0 对任意实数 tt 成立. 这要求该二次式的判别式不大于零，即 (k+2)2−4≤0(k+2)^2-4\leq0，从而 −4≤k≤0-4\leq k\leq0. 当 b=0b=0 时原不等式显然成立，所以取值范围为 [−4,0][-4,0]. 选 B. \end{solution}
A.
{−4,0}\{-4,0\}
B.
[−4,0][-4, 0]
C.
(−∞,0](- \infty, 0]
D.
(−∞,−4]∪[0,+∞)(- \infty, -4] \cup [0, +\infty)

2015 · 上海 · 春季 · 第 31 题 · 选择题

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32数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_{n}\} 满足 an+an+4=an+1+an+3a_{n} + a_{n+4} = a_{n+1} + a_{n+3}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}），那么（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 令 dn=an+1−and_n=a_{n+1}-a_n. 由已知等式，得 an+4−an+3=an+1−ana_{n+4}-a_{n+3}=a_{n+1}-a_n，即 dn+3=dnd_{n+3}=d_n. 因而差数列以 3 为周期. 对数列 {a3n}\{a_{3n}\}，有
a3(n+1)−a3n=d3n+d3n+1+d3n+2=d3+d1+d2a_{3(n+1)}-a_{3n}=d_{3n}+d_{3n+1}+d_{3n+2}=d_3+d_1+d_2
右端与 nn 无关，所以 {a3n}\{a_{3n}\} 是等差数列. 为说明其余三个选项不一定成立，取 d1=1d_1=1、d2=2d_2=2、d3=0d_3=0，令 a1=0a_1=0，并按 dn+3=dnd_{n+3}=d_n 定义后续各项. 此时 {an}\{a_n\} 的相邻差不恒定，{a2n−1}\{a_{2n-1}\} 的相邻差依次为 33，11，22，…\ldots，{a2n}\{a_{2n}\} 的相邻差依次为 22，33，11，…\ldots，故这三个数列均不一定是等差数列. 因此选 D. \end{solution}
A.
{an}\left\{a_{n}\right\} 是等差数列
B.
{a2n−1}\left\{a_{2n-1}\right\} 是等差数列
C.
{a2n}\left\{a_{2n}\right\} 是等差数列
D.
{a3n}\left\{a_{3n}\right\} 是等差数列

2015 · 上海 · 春季 · 第 32 题 · 选择题

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33复数★★★☆☆
关于 xx 的实系数一元二次方程 x2+px+2=0x^2 + px + 2 = 0 的两个虚数根为 z1z_1， z2z_2，若 z1z_1， z2z_2 在复平面上对应的点是经过原点的椭圆的两个焦点，则该椭圆的长轴长为______.
\begin{answer} 222\sqrt2 \end{answer}
\begin{solution} 因为方程系数为实数且两根为非实根，所以两根互为共轭，可设 z1=u+viz_1=u+v\mathrm{i}、z2=u−viz_2=u-v\mathrm{i}，其中 v≠0v\neq0. 由韦达定理 z1z2=2z_1z_2=2，得 u2+v2=2u^2+v^2=2.
椭圆的两个焦点为这两个点，原点在椭圆上，所以原点到两个焦点的距离之和等于长轴长 2a2a. 两个距离都等于 u2+v2=2\sqrt{u^2+v^2}=\sqrt2，故 2a=222a=2\sqrt2. 因此该椭圆的长轴长为 222\sqrt2. \end{solution}

2015 · 上海 · 春季 · 第 33 题 · 填空题

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34平面向量★★★☆☆
已知圆心为 OO，半径为 11 的圆上有三点 AA， BB， CC，若 7OA→+5OB→+8OC→=0→7\overrightarrow{OA} + 5\overrightarrow{OB} + 8\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0}，则 ∣BC→∣=\left|\overrightarrow{BC}\right|=______.
\begin{answer} 3\sqrt3 \end{answer}
\begin{solution} 记 a=OA→\boldsymbol{a}=\overrightarrow{OA}、b=OB→\boldsymbol{b}=\overrightarrow{OB}、c=OC→\boldsymbol{c}=\overrightarrow{OC}. 因为三点在单位圆上，所以 ∣a∣=∣b∣=∣c∣=1|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{c}|=1. 由 7a+5b+8c=07\boldsymbol{a}+5\boldsymbol{b}+8\boldsymbol{c}=\boldsymbol{0}，得 7a=−(5b+8c)7\boldsymbol{a}=-(5\boldsymbol{b}+8\boldsymbol{c}). 两边平方，得
49=25+64+80b⋅c49=25+64+80\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}
所以 b⋅c=−12\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}=-\frac12. 于是
∣BC→∣2=∣c−b∣2=∣b∣2+∣c∣2−2b⋅c=1+1+1=3|\overrightarrow{BC}|^2=|\boldsymbol{c}-\boldsymbol{b}|^2=|\boldsymbol{b}|^2+|\boldsymbol{c}|^2-2\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}=1+1+1=3
因此 ∣BC→∣=3|\overrightarrow{BC}|=\sqrt3. \end{solution}

2015 · 上海 · 春季 · 第 34 题 · 填空题

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