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08立体几何初步★★★☆☆
已知球的两个平行截面的面积分别为 5π5\pi 和 8π8\pi，它们位于球心的同一侧，且相距为 11，那么这个球的半径是（ ）
A.
44
B.
33
C.
22
D.
55

1989 · 全国 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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11函数与初等函数★★★☆☆
已知 f(x)=8+2x−x2f(x) = 8 + 2x - x^2，如果 g(x)=f(2−x2)g(x) = f(2 - x^2)，那么 g(x)g(x)（ ）
A.
在区间 (−1,0)(-1,0) 上是减函数
B.
在区间 (0,1)(0,1) 上是减函数
C.
在区间 (−2,0)(-2,0) 上是增函数
D.
在区间 (0,2)(0,2) 上是增函数

1989 · 全国 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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15函数与初等函数★★★☆☆
函数 y=ex−1ex+1y = \frac{\mathrm{e}^x - 1}{\mathrm{e}^x + 1} 的反函数的定义域是______.

1989 · 全国 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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19三角函数★★★☆☆
证明：tan⁡3x2−tan⁡x2=2sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x\tan \frac{3x}{2} - \tan \frac{x}{2} = \frac{2\sin x}{\cos x + \cos 2x}.

1989 · 全国 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20立体几何初步★★★☆☆
如图，在平行六面体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_1B_1C_1D_1 中，已知 AB=5AB = 5，AD=4AD = 4，AA1=3AA_1 = 3，AB⊥ADAB \perp AD，∠A1AB=∠A1AD=π3\angle A_1AB = \angle A_1AD = \frac{\pi}{3}.
(1) 求证：顶点 A1A_1 在底面 ABCDABCD 的射影 OO 在 ∠BAD\angle BAD 的平分线上； (2) 求这个平行六面体的体积.

1989 · 全国 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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23数列★★★☆☆
是否存在常数 aa，bb，cc 使得等式 1⋅22+2⋅32+⋯+n(n+1)2=n(n+1)12(an2+bn+c)1 \cdot 2^2 + 2 \cdot 3^2 + \cdots + n(n + 1)^2 = \frac{n(n + 1)}{12}(an^2 + bn + c) 对一切自然数 nn 都成立？并证明你的结论.

1989 · 全国 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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