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03不等式★★★☆☆
给出下列三个命题：
① 若 a⩾b>−1a\geqslant b>-1，则 a1+a⩾b1+b\dfrac{a}{1+a}\geqslant\dfrac{b}{1+b}； ② 若正整数 mm 和 nn 满足 m⩽nm\leqslant n，则 m(n−m)⩽n2\sqrt{m(n-m)}\leqslant\dfrac n2； ③ 设 P(x1,y1)P(x_1,y_1) 为圆 O1:x2+y2=9O_1:x^2+y^2=9 上任一点，圆 O2O_2 以 Q(a,b)Q(a,b) 为圆心且半径为 11. 当 (a−x1)2+(b−y1)2=1(a-x_1)^2+(b-y_1)^2=1 时，圆 O1O_1 与圆 O2O_2 相切.
其中假命题的个数为（\quad）
A.
00
B.
11
C.
22
D.
33

2005 · 天津 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04立体几何初步★★★☆☆
设 α\alpha，β\beta，γ\gamma 为平面，mm，nn，ll 为直线，则 m⊥βm\perp\beta 的一个充分条件是（\quad）
A.
α⊥β, α∩β=l, m⊥l\alpha\perp\beta,\ \alpha\cap\beta=l,\ m\perp l
B.
α∩γ=m\alpha\cap\gamma=m， α⊥γ\ \alpha\perp\gamma， β⊥γ\ \beta\perp\gamma
C.
α⊥γ\alpha\perp\gamma， β⊥γ\ \beta\perp\gamma， m⊥α\ m\perp\alpha
D.
n⊥αn\perp\alpha， n⊥β\ n\perp\beta， m⊥α\ m\perp\alpha

2005 · 天津 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05解析几何★★★☆☆
设双曲线以椭圆 x225+y29=1\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1 长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为（\quad）
A.
±2\pm2
B.
±43\pm\dfrac43
C.
±12\pm\dfrac12
D.
±34\pm\dfrac34

2005 · 天津 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06计数原理与组合数学★★★☆☆
从集合 {1,2,3,⋯ ,11}\{1,2,3,\cdots,11\} 中任选两个元素作为椭圆方程 x2m2+y2n2=1\dfrac{x^2}{m^2}+\dfrac{y^2}{n^2}=1 中的 mm 和 nn，则能组成落在矩形区域 B={(x,y)∣∣x∣<11 且 ∣y∣<9}B=\{(x,y)\mid |x|<11\text{ 且 }|y|<9\} 内的椭圆个数为（\quad）
A.
4343
B.
7272
C.
8686
D.
9090

2005 · 天津 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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09指数函数与对数函数★★★☆☆
设 f−1(x)f^{-1}(x) 是函数 f(x)=12(ax−a−x)f(x)=\dfrac12(a^x-a^{-x})（a>1a>1）的反函数， 则使 f−1(x)>1f^{-1}(x)>1 成立的 xx 的取值范围为（\quad）
A.
(a2−12a,+∞)\left(\dfrac{a^2-1}{2a},+\infty\right)
B.
(−∞,a2−12a)\left(-\infty,\dfrac{a^2-1}{2a}\right)
C.
(a2−12a,a)\left(\dfrac{a^2-1}{2a},a\right)
D.
[a,+∞)[a,+\infty)

2005 · 天津 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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13数列★★★☆☆
在数列 {an}\{a_n\} 中，a1=1a_1=1，a2=2a_2=2，且 an+2−an=1+(−1)na_{n+2}-a_n=1+(-1)^n（n∈N∗n\in\mathbb N^*）. 则 S100=S_{100}=______.

2005 · 天津 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14平面向量★★★☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，已知点 A(0,1)A(0,1) 和点 B(−3,4)B(-3,4)，若点 CC 在 ∠AOB\angle AOB 的平分线上且 ∣OC→∣=2\left|\overrightarrow{OC}\right|=2，则 OC→=\overrightarrow{OC}=______.

2005 · 天津 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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17三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，∠A\angle A，∠B\angle B，∠C\angle C 所对的边长分别为 aa，bb，cc. 设 aa，bb，cc 满足条件 b2+c2−bc=a2b^2+c^2-bc=a^2 和 cb=12+3\dfrac cb=\dfrac12+\sqrt3，求 ∠A\angle A 和 tan⁡B\tan B 的值.

2005 · 天津 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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