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01不等式★★☆☆☆
设集合 A={x∣∣4x−1∣⩾9, x∈R}A=\{x\mid |4x-1|\geqslant9,\ x\in\mathbf{R}\}， B={x∣xx+3⩾0, x∈R}B=\left\{x\mid \dfrac{x}{x+3}\geqslant0,\ x\in\mathbf{R}\right\}，则 A∩B=A\cap B=（\quad）
A.
(−3,−2](-3,-2]
B.
(−3,−2]∪[0,52](-3,-2]\cup\left[0,\dfrac52\right]
C.
(−∞,−3]∪[52,+∞)(-\infty,-3]\cup\left[\dfrac52,+\infty\right)
D.
(−∞,−3)∪[52,+∞)(-\infty,-3)\cup\left[\dfrac52,+\infty\right)

2005 · 天津 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02复数★☆☆☆☆
若复数 a+3i1+2i\dfrac{a+3\mathrm{i}}{1+2\mathrm{i}}（a∈Ra\in\mathbf{R}，i\mathrm{i} 为虚数单位）是纯虚数，则实数 aa 的值为（\quad）
A.
−2-2
B.
44
C.
−6-6
D.
66

2005 · 天津 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03不等式★★★☆☆
给出下列三个命题：
① 若 a⩾b>−1a\geqslant b>-1，则 a1+a⩾b1+b\dfrac{a}{1+a}\geqslant\dfrac{b}{1+b}； ② 若正整数 mm 和 nn 满足 m⩽nm\leqslant n，则 m(n−m)⩽n2\sqrt{m(n-m)}\leqslant\dfrac n2； ③ 设 P(x1,y1)P(x_1,y_1) 为圆 O1:x2+y2=9O_1:x^2+y^2=9 上任一点，圆 O2O_2 以 Q(a,b)Q(a,b) 为圆心且半径为 11. 当 (a−x1)2+(b−y1)2=1(a-x_1)^2+(b-y_1)^2=1 时，圆 O1O_1 与圆 O2O_2 相切.
其中假命题的个数为（\quad）
A.
00
B.
11
C.
22
D.
33

2005 · 天津 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04立体几何初步★★★☆☆
设 α\alpha，β\beta，γ\gamma 为平面，mm，nn，ll 为直线，则 m⊥βm\perp\beta 的一个充分条件是（\quad）
A.
α⊥β, α∩β=l, m⊥l\alpha\perp\beta,\ \alpha\cap\beta=l,\ m\perp l
B.
α∩γ=m\alpha\cap\gamma=m， α⊥γ\ \alpha\perp\gamma， β⊥γ\ \beta\perp\gamma
C.
α⊥γ\alpha\perp\gamma， β⊥γ\ \beta\perp\gamma， m⊥α\ m\perp\alpha
D.
n⊥αn\perp\alpha， n⊥β\ n\perp\beta， m⊥α\ m\perp\alpha

2005 · 天津 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05解析几何★★★☆☆
设双曲线以椭圆 x225+y29=1\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1 长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为（\quad）
A.
±2\pm2
B.
±43\pm\dfrac43
C.
±12\pm\dfrac12
D.
±34\pm\dfrac34

2005 · 天津 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06计数原理与组合数学★★★☆☆
从集合 {1,2,3,⋯ ,11}\{1,2,3,\cdots,11\} 中任选两个元素作为椭圆方程 x2m2+y2n2=1\dfrac{x^2}{m^2}+\dfrac{y^2}{n^2}=1 中的 mm 和 nn，则能组成落在矩形区域 B={(x,y)∣∣x∣<11 且 ∣y∣<9}B=\{(x,y)\mid |x|<11\text{ 且 }|y|<9\} 内的椭圆个数为（\quad）
A.
4343
B.
7272
C.
8686
D.
9090

2005 · 天津 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07概率与统计★★☆☆☆
某人射击一次击中的概率为 0.60.6，经过 33 次射击，此人至少有两次击中目标的概率为（\quad）
A.
81125\dfrac{81}{125}
B.
54125\dfrac{54}{125}
C.
36125\dfrac{36}{125}
D.
27125\dfrac{27}{125}

2005 · 天津 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08三角函数★★☆☆☆
要得到函数 y=2cos⁡xy=\sqrt2\cos x 的图象，只需将函数 y=2sin⁡(2x+π4)y=\sqrt2\sin\left(2x+\dfrac\pi4\right) 的图象上所有的点的（\quad）
A.
横坐标缩短到原来的 12\dfrac12 倍（纵坐标不变），再向左平行移动 π8\dfrac\pi8 个单位长度
B.
横坐标缩短到原来的 12\dfrac12 倍（纵坐标不变），再向右平行移动 π4\dfrac\pi4 个单位长度
C.
横坐标伸长到原来的 22 倍（纵坐标不变），再向左平行移动 π4\dfrac\pi4 个单位长度
D.
横坐标伸长到原来的 22 倍（纵坐标不变），再向右平行移动 π8\dfrac\pi8 个单位长度

2005 · 天津 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09指数函数与对数函数★★★☆☆
设 f−1(x)f^{-1}(x) 是函数 f(x)=12(ax−a−x)f(x)=\dfrac12(a^x-a^{-x})（a>1a>1）的反函数， 则使 f−1(x)>1f^{-1}(x)>1 成立的 xx 的取值范围为（\quad）
A.
(a2−12a,+∞)\left(\dfrac{a^2-1}{2a},+\infty\right)
B.
(−∞,a2−12a)\left(-\infty,\dfrac{a^2-1}{2a}\right)
C.
(a2−12a,a)\left(\dfrac{a^2-1}{2a},a\right)
D.
[a,+∞)[a,+\infty)

2005 · 天津 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10函数与初等函数★★★★☆
若函数 f(x)=log⁡a(x3−ax)f(x)=\log_a(x^3-ax)（a>0a>0，a≠1a\ne1）在区间 (−12,0)\left(-\dfrac12,0\right) 内单调递增，则 aa 的取值范围是（\quad）
A.
[14,1)\left[\dfrac14,1\right)
B.
[34,1)\left[\dfrac34,1\right)
C.
(94,+∞)\left(\dfrac94,+\infty\right)
D.
(1,94)\left(1,\dfrac94\right)

2005 · 天津 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11计数原理与组合数学★★☆☆☆
设 n∈N∗n\in\mathbb N^*，则 Cn1+Cn26+Cn362+⋯+Cnn6n−1=\mathrm C_n^1+\mathrm C_n^2 6+\mathrm C_n^3 6^2+\cdots+\mathrm C_n^n6^{n-1}=______.

2005 · 天津 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12立体几何初步★★☆☆☆
如图，PA⊥PA\perp 平面 ABCABC，∠ACB=90∘\angle ACB=90^\circ 且 PA=AC=BC=aPA=AC=BC=a，则异面直线 PBPB 与 ACAC 所成角的正切值等于______.

2005 · 天津 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13数列★★★☆☆
在数列 {an}\{a_n\} 中，a1=1a_1=1，a2=2a_2=2，且 an+2−an=1+(−1)na_{n+2}-a_n=1+(-1)^n（n∈N∗n\in\mathbb N^*）. 则 S100=S_{100}=______.

2005 · 天津 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14平面向量★★★☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，已知点 A(0,1)A(0,1) 和点 B(−3,4)B(-3,4)，若点 CC 在 ∠AOB\angle AOB 的平分线上且 ∣OC→∣=2\left|\overrightarrow{OC}\right|=2，则 OC→=\overrightarrow{OC}=______.

2005 · 天津 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15概率与统计★★☆☆☆
某公司有 5 万元5\text{ 万元} 资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利 12%12\%， 一旦失败，一年后将丧失全部资金的 50%50\%. 下表是过去 200200 例类似项目开发的实施结果：
则该公司一年后估计可获收益的期望是______元\text{元}.

2005 · 天津 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16函数与初等函数★★☆☆☆
设 f(x)f(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上的奇函数，且 y=f(x)y=f(x) 的图象关于直线 x=12x=\dfrac12 对称，则 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=______.

2005 · 天津 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，∠A\angle A，∠B\angle B，∠C\angle C 所对的边长分别为 aa，bb，cc. 设 aa，bb，cc 满足条件 b2+c2−bc=a2b^2+c^2-bc=a^2 和 cb=12+3\dfrac cb=\dfrac12+\sqrt3，求 ∠A\angle A 和 tan⁡B\tan B 的值.

2005 · 天津 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18数列★★★★☆
已知 un=an+an−1b+an−2b2+⋯+abn−1+bnu_n=a^n+a^{n-1}b+a^{n-2}b^2+\cdots+ab^{n-1}+b^n （n∈N∗n\in\mathbb N^*， a>0\ a>0， b>0\ b>0）.
(1) 当 a=ba=b 时，求数列 {un}\{u_n\} 的前 nn 项和 SnS_n； (2) 求 lim⁡n→∞unun−1\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{u_n}{u_{n-1}}.

2005 · 天津 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，在斜三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 中， ∠A1AB=∠A1AC\angle A_1AB=\angle A_1AC，AB=ACAB=AC，A1A=A1B=aA_1A=A_1B=a，侧面 B1BCC1B_1BCC_1 与底面 ABCABC 所成的二面角为 120∘120^\circ，EE，FF 分别是棱 B1C1B_1C_1，A1AA_1A 的中点.
(1) 求 A1AA_1A 与底面 ABCABC 所成的角； (2) 证明 A1E∥平面 B1FCA_1E\parallel\text{平面 }B_1FC； (3) 求经过 A1A_1，AA，BB，CC 四点的球的体积.

2005 · 天津 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
某人在一山坡 PP 处观看对面山顶上的一座铁塔，如图所示，塔高 BC=80 米BC=80\text{ 米}，塔所在的山高 OB=220 米OB=220\text{ 米}，OA=200 米OA=200\text{ 米}. 图中所示的山坡可视为直线 ll 且点 PP 在直线 ll 上，ll 与水平地面的夹角为 α\alpha，tan⁡α=12\tan\alpha=\dfrac12. 试问此人距水平地面多高时，观看塔的视角 ∠BPC\angle BPC 最大？（不计此人的身高）

2005 · 天津 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
抛物线 CC 的方程为 y=ax2y=ax^2（a<0a<0），过抛物线 CC 上一点 P(x0,y0)P(x_0,y_0)（x0≠0x_0\ne0）作斜率为 k1k_1，k2k_2 的两条直线分别交抛物线 CC 于 A(x1,y1)A(x_1,y_1)，B(x2,y2)B(x_2,y_2) 两点（PP，AA，BB 三点互不相同）， 且满足 k2+λk1=0k_2+\lambda k_1=0（λ≠0\lambda\ne0，λ≠−1\lambda\ne-1）.
(1) 求抛物线 CC 的焦点坐标和准线方程； (2) 设直线 ABAB 上一点 MM，满足 BM→=λMA→\overrightarrow{BM}=\lambda\overrightarrow{MA}， 证明线段 PMPM 的中点在 yy 轴上； (3) 当 λ=1\lambda=1 时，若点 PP 的坐标为 (1,−1)(1,-1)，求 ∠PAB\angle PAB 为钝角时点 AA 的纵坐标 y1y_1 的取值范围.

2005 · 天津 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=xsin⁡xf(x)=x\sin x（x∈Rx\in\mathbf{R}）.
(1) 证明 f(x+2kπ)−f(x)=2kπsin⁡xf(x+2k\pi)-f(x)=2k\pi\sin x，其中 kk 为整数； (2) 设 x0x_0 为 f(x)f(x) 的一个极值点，证明 [f(x0)]2=x041+x02\left[f(x_0)\right]^2=\dfrac{x_0^4}{1+x_0^2}； (3) 设 f(x)f(x) 在 (0,+∞)(0,+\infty) 内的全部极值点按从小到大的顺序排列 a1a_1，a2a_2，…\ldots，ana_n，…\ldots，证明 π2<an+1−an<π\dfrac\pi2<a_{n+1}-a_n<\pi（n=1n=1，22，…\ldots）.

2005 · 天津 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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