已知函数 $f(x) = |x - 2| + 1$，$g(x) = kx$，若方程 $f(x) = g(x)$ 有两个不相等的实根，则实数 $k$ 的取值范围是（ ）

三棱锥 $P - ABC$ 中，$D$，$E$ 分别为 $PB$，$PC$ 的中点，记三棱锥 $D - ABE$ 的体积为 $V_{1}$，$P - ABC$ 的体积为 $V_{2}$，则 $\frac{V_{1}}{V_{2}} =$______.

若 $\left(ax^2 + \frac{b}{x}\right)^6$ 的展开式中 $x^3$ 项的系数为 20，则 $a^2 + b^2$ 的最小值为______.

已知向量 $\boldsymbol{a} = (m, \cos 2x)$，$\boldsymbol{b} = (\sin 2x, n)$，函数 $f(x) = \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$，且 $y = f(x)$ 的图象过点 $\left(\frac{\pi}{12}, \sqrt{3}\right)$ 和点 $\left(\frac{2\pi}{3}, -2\right)$.

(1) 求 $m$，$n$ 的值； (2) 将 $y = f(x)$ 的图象向左平移 $\varphi$（$0 < \varphi < \pi$）个单位后得到函数 $y = g(x)$ 的图象. 若 $y = g(x)$ 的图象上各最高点到点 $(0,3)$ 的距离的最小值为 1，求 $y = g(x)$ 的单调增区间.

如图，在四棱柱 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，底面 $ABCD$ 是等腰梯形，$\angle DAB = 60^{\circ}$，$AB = 2CD = 2$，$M$ 是线段 $AB$ 的中点.

(1) 求证：$C_{1}M \parallel$ 平面 $A_{1}ADD_{1}$； (2) 若 $CD_{1}$ 垂直于平面 $ABCD$ 且 $CD_{1} = \sqrt{3}$，求平面 $C_{1}D_{1}M$ 和平面 $ABCD$ 所成的角（锐角）的余弦值.

乒乓球台面被球网分隔成甲，乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域 $A$，$B$，乙被划分为两个不相交的区域 $C$，$D$. 某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球. 规定：回球一次，落点在 $C$ 上记 $3\text{ 分}$，在 $D$ 上记 $1\text{ 分}$，其他情况记 $0\text{ 分}$. 对落点在 $A$ 上的来球，队员小明回球的落点在 $C$ 上的概率为 $\frac{1}{2}$，在 $D$ 上的概率为 $\frac{1}{3}$. 对落点在 $B$ 上的来球，小明回球的落点在 $C$ 上的概率为 $\frac{1}{5}$，在 $D$ 上的概率为 $\frac{3}{5}$. 假设共有两次来球且落在 $A$，$B$ 上各一次，小明的两次回球互不影响. 求：

(1) 小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； (2) 两次回球结束后，小明得分之和 $\xi$ 的分布列与数学期望.

已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差为 2，前 $n$ 项和为 $S_{n}$，且 $S_{1}$，$S_{2}$，$S_{4}$ 成等比数列.

(1) 求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式； (2) 令 $b_n = (-1)^{n-1} \frac{4n}{a_n a_{n+1}}$，求数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$.