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01复数★☆☆☆☆
已知 aa，b∈Rb \in \mathbf{R}，i\mathrm{i} 是虚数单位. 若 a−ia - \mathrm{i} 与 2+bi2 + b\mathrm{i} 互为共轭复数，则 (a+bi)2=(a + b\mathrm{i})^2 =（ ）
A.
5−4i5 - 4\mathrm{i}
B.
5+4i5 + 4\mathrm{i}
C.
3−4i3 - 4\mathrm{i}
D.
3+4i3 + 4\mathrm{i}

2014 · 山东 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02集合与逻辑基础★★☆☆☆
设集合 A={x∣∣x−1∣<2}A = \{x \mid |x - 1| < 2\}，B={y∣y=2x,x∈[0,2]}B = \{y \mid y = 2^x, x \in [0,2]\}，则 A∩B=A \cap B =（ ）
A.
[0,2][0,2]
B.
(1,3)(1,3)
C.
[1,3)[1,3)
D.
(1,4)(1,4)

2014 · 山东 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03函数与初等函数★★☆☆☆
函数 f(x)=1(log⁡2x)2−1f(x) = \frac{1}{\sqrt{(\log_2x)^2 - 1}} 的定义域为（ ）
A.
(0,12)\left(0, \frac{1}{2}\right)
B.
(2,+∞)(2, +\infty)
C.
(0,12)∪(2,+∞)\left(0, \frac{1}{2}\right) \cup (2, +\infty)
D.
(0,12]∪[2,+∞)\left(0, \frac{1}{2}\right] \cup [2, +\infty)

2014 · 山东 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04集合与逻辑基础★☆☆☆☆
用反证法证明命题“设 aa，bb 为实数，则方程 x3+ax+b=0x^{3} + ax + b = 0 至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）
A.
方程 x3+ax+b=0x^{3} + ax + b = 0 没有实根
B.
方程 x3+ax+b=0x^{3} + ax + b = 0 至多有一个实根
C.
方程 x3+ax+b=0x^{3} + ax + b = 0 至多有两个实根
D.
方程 x3+ax+b=0x^{3} + ax + b = 0 恰好有两个实根

2014 · 山东 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05指数函数与对数函数★★☆☆☆
已知实数 xx，yy 满足 ax<aya^x < a^y （0<a<10 < a < 1），则下列关系式恒成立的是（ ）
A.
1x2+1>1y2+1\frac{1}{x^2 + 1} > \frac{1}{y^2 + 1}
B.
ln⁡(x2+1)>ln⁡(y2+1)\ln (x^2 + 1) > \ln (y^2 + 1)
C.
sin⁡x>sin⁡y\sin x > \sin y
D.
x3>y3x^{3} > y^{3}

2014 · 山东 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06导数及其应用★★☆☆☆
直线 y=4xy = 4x 与曲线 y=x3y = x^3 在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ）
A.
222\sqrt{2}
B.
424\sqrt{2}
C.
22
D.
44

2014 · 山东 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07概率与统计★★☆☆☆
为了研究某种药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验. 所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa\mathrm{kPa}）的分组区间为 [12,13)[12, 13)，[13,14)[13, 14)，[14,15)[14, 15)，[15,16)[15, 16)，[16,17][16, 17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组. 如图所示是根据试验数据制成的频率分布直方图. 已知第一组与第二组共有 20 人20\text{ 人}，第三组中没有疗效的有 6 人6\text{ 人}，则第三组中有疗效的人数为（ ）
A.
66
B.
88
C.
1212
D.
1818

2014 · 山东 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣x−2∣+1f(x) = |x - 2| + 1，g(x)=kxg(x) = kx，若方程 f(x)=g(x)f(x) = g(x) 有两个不相等的实根，则实数 kk 的取值范围是（ ）
A.
(0,32)\left(0, \frac{3}{2}\right)
B.
(12,1)\left(\frac{1}{2},1\right)
C.
(1,2)(1,2)
D.
(2,+∞)(2, +\infty)

2014 · 山东 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09不等式★★★★☆
已知 xx，yy 满足约束条件
{x−y−1⩽0,2x−y−3⩾0,\begin{cases} x - y - 1 \leqslant 0,\\ 2x - y - 3 \geqslant 0, \end{cases}
当目标函数 z=ax+byz = ax + by（a>0a > 0，b>0b > 0）在该约束条件下取到最小值 252\sqrt{5} 时，a2+b2a^2 + b^2 的最小值为（ ）
A.
55
B.
44
C.
5\sqrt{5}
D.
22

2014 · 山东 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10解析几何★★☆☆☆
已知 a>b>0a > b > 0，椭圆 C1C_1 的方程为 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1，双曲线 C2C_2 的方程为 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1，C1C_1 与 C2C_2 的离心率之积为 32\frac{\sqrt{3}}{2}，则 C2C_2 的渐近线方程为（ ）
A.
x±2y=0x \pm \sqrt{2}y = 0
B.
2x±y=0\sqrt{2}x \pm y = 0
C.
x±2y=0x \pm 2y = 0
D.
2x±y=02x \pm y = 0

2014 · 山东 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11不等式★★☆☆☆
执行如图所示的程序框图，若输入的 xx 的值为 1，则输出的 nn 的值为______.

2014 · 山东 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12平面向量★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，已知 AB→⋅AC→=tan⁡A\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \tan A，当 A=π6A = \frac{\pi}{6} 时，△ABC\triangle ABC 的面积为______.

2014 · 山东 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13立体几何初步★★★☆☆
三棱锥 P−ABCP - ABC 中，DD，EE 分别为 PBPB，PCPC 的中点，记三棱锥 D−ABED - ABE 的体积为 V1V_{1}，P−ABCP - ABC 的体积为 V2V_{2}，则 V1V2=\frac{V_{1}}{V_{2}} =______.

2014 · 山东 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14计数原理与组合数学★★★☆☆
若 (ax2+bx)6\left(ax^2 + \frac{b}{x}\right)^6 的展开式中 x3x^3 项的系数为 20，则 a2+b2a^2 + b^2 的最小值为______.

2014 · 山东 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15导数及其应用★★★★☆
已知函数 y=f(x)y = f(x)（x∈Rx \in \mathbf{R}）. 对函数 y=g(x)y = g(x) （x∈Ix \in I），定义 g(x)g(x) 关于 f(x)f(x) 的“对称函数”为函数 y=h(x)y = h(x) （x∈Ix \in I），y=h(x)y = h(x) 满足：对任意 x∈Ix \in I，两个点 (x,h(x))(x, h(x))，(x,g(x))(x, g(x)) 关于点 (x,f(x))(x, f(x)) 对称. 若 h(x)h(x) 是 g(x)=4−x2g(x) = \sqrt{4 - x^2} 关于 f(x)=3x+bf(x) = 3x + b 的“对称函数”，且 h(x)>g(x)h(x) > g(x) 恒成立，则实数 bb 的取值范围是______.

2014 · 山东 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16平面向量★★★☆☆
已知向量 a=(m,cos⁡2x)\boldsymbol{a} = (m, \cos 2x)，b=(sin⁡2x,n)\boldsymbol{b} = (\sin 2x, n)，函数 f(x)=a⋅bf(x) = \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}，且 y=f(x)y = f(x) 的图象过点 (π12,3)\left(\frac{\pi}{12}, \sqrt{3}\right) 和点 (2π3,−2)\left(\frac{2\pi}{3}, -2\right).
(1) 求 mm，nn 的值； (2) 将 y=f(x)y = f(x) 的图象向左平移 φ\varphi（0<φ<π0 < \varphi < \pi）个单位后得到函数 y=g(x)y = g(x) 的图象. 若 y=g(x)y = g(x) 的图象上各最高点到点 (0,3)(0,3) 的距离的最小值为 1，求 y=g(x)y = g(x) 的单调增区间.

2014 · 山东 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，在四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，底面 ABCDABCD 是等腰梯形，∠DAB=60∘\angle DAB = 60^{\circ}，AB=2CD=2AB = 2CD = 2，MM 是线段 ABAB 的中点.
(1) 求证：C1M∥C_{1}M \parallel 平面 A1ADD1A_{1}ADD_{1}； (2) 若 CD1CD_{1} 垂直于平面 ABCDABCD 且 CD1=3CD_{1} = \sqrt{3}，求平面 C1D1MC_{1}D_{1}M 和平面 ABCDABCD 所成的角（锐角）的余弦值.

2014 · 山东 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
乒乓球台面被球网分隔成甲，乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域 AA，BB，乙被划分为两个不相交的区域 CC，DD. 某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球. 规定：回球一次，落点在 CC 上记 3 分3\text{ 分}，在 DD 上记 1 分1\text{ 分}，其他情况记 0 分0\text{ 分}. 对落点在 AA 上的来球，队员小明回球的落点在 CC 上的概率为 12\frac{1}{2}，在 DD 上的概率为 13\frac{1}{3}. 对落点在 BB 上的来球，小明回球的落点在 CC 上的概率为 15\frac{1}{5}，在 DD 上的概率为 35\frac{3}{5}. 假设共有两次来球且落在 AA，BB 上各一次，小明的两次回球互不影响. 求：
(1) 小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； (2) 两次回球结束后，小明得分之和 ξ\xi 的分布列与数学期望.

2014 · 山东 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19数列★★★☆☆
已知等差数列 {an}\{a_{n}\} 的公差为 2，前 nn 项和为 SnS_{n}，且 S1S_{1}，S2S_{2}，S4S_{4} 成等比数列.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 令 bn=(−1)n−14nanan+1b_n = (-1)^{n-1} \frac{4n}{a_n a_{n+1}}，求数列 {bn}\{b_n\} 的前 nn 项和 TnT_n.

2014 · 山东 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=exx2−k(2x+ln⁡x)f(x) = \frac{\mathrm{e}^x}{x^2} - k\left(\frac{2}{x} + \ln x\right) （kk 为常数，e=2.71828⋯\mathrm{e} = 2.71828 \cdots 是自然对数的底数）.
(1) 当 k⩽0k \leqslant 0 时，求函数 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 若函数 f(x)f(x) 在 (0,2)(0,2) 内存在两个极值点，求 kk 的取值范围.

2014 · 山东 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
已知抛物线 C:y2=2pxC: y^{2} = 2px（p>0p > 0）的焦点为 FF，AA 为 CC 上异于原点的任意一点，过点 AA 的直线 ll 交 CC 于另一点 BB，交 xx 轴的正半轴于点 DD，且有 ∣FA∣=∣FD∣|FA| = |FD|. 当点 AA 的横坐标为 3 时，△ADF\triangle ADF 为正三角形.
(1) 求 CC 的方程； (2) 若直线 l1∥ll_{1} \parallel l，且 l1l_{1} 和 CC 有且只有一个公共点 EE，
(i) 证明直线 AEAE 过定点，并求出定点坐标； (ii) △ABE\triangle ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.

2014 · 山东 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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