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08函数与初等函数★★★☆☆
设函数
f(x)={(x−1x)6,x<0,−x,x⩾0,f(x)=\begin{cases} \left(x-\dfrac{1}{x}\right)^6, & x<0,\\ -\sqrt{x}, & x\geqslant0, \end{cases}
则当 x>0x>0 时，f[f(x)]f[f(x)] 表达式的展开式中常数项为（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 当 x>0x>0 时，f(x)=−x<0f(x)=-\sqrt{x}<0，因此应使用函数的第一段：f[f(x)]=(−x−1−x)6=(1x−x)6=x−3(1−x)6f[f(x)]=\left(-\sqrt{x}-\dfrac{1}{-\sqrt{x}}\right)^6=\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}-\sqrt{x}\right)^6=x^{-3}(1-x)^6. 展开得 x−3∑k=06(−1)kC6kxkx^{-3}\sum_{k=0}^{6}(-1)^k\mathrm C_6^k x^k. 常数项对应 k=3k=3，其系数为 (−1)3C63=−20(-1)^3\mathrm C_6^3=-20，故选 A. \end{solution}
A.
−20-20
B.
2020
C.
−15-15
D.
1515

2013 · 陕西 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09不等式★★★☆☆
在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于 300 m2300 \mathrm{~m}^{2} 的内接矩形花园（阴影部分），则其边长 xx（单位 m\mathrm{m}）的取值范围是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 设矩形的另一边长为 yy. 三角形的底边和高均为 4040，由相似三角形可得矩形上边所在的水平截面长为 40−y40-y，所以 x=40−yx=40-y，即 y=40−xy=40-x. 矩形面积不小于 300300 给出 x(40−x)⩾300x(40-x)\geqslant300，整理得 x2−40x+300⩽0x^2-40x+300\leqslant0，即 (x−10)(x−30)⩽0(x-10)(x-30)\leqslant0. 因而 10⩽x⩽3010\leqslant x\leqslant30，故选 C. \end{solution}
A.
[15,20]\left[15,20\right]
B.
[12,25]\left[12,25\right]
C.
[10,30]\left[10,30\right]
D.
[20,30]\left[20,30\right]

2013 · 陕西 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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15不等式★★★☆☆
已知 aa，bb，mm，nn 均为正数，且 a+b=1a+b=1，mn=2mn=2，则 (am+bn)(bm+an)(am+bn)(bm+an) 的最小值为______.
\begin{answer} 22 \end{answer}
\begin{solution} 展开并配方得 (am+bn)(bm+an)=ab(m−n)2+mn(a+b)2=ab(m−n)2+2⩾2(am+bn)(bm+an)=ab(m-n)^2+mn(a+b)^2=ab(m-n)^2+2\geqslant2. 当 m=n=2m=n=\sqrt2 时满足 mn=2mn=2，且等号成立，所以最小值为 22，故填 22. \end{solution}

2013 · 陕西 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16解析几何★★★☆☆
如图，弦 ABAB 与 CDCD 相交于 ⊙O\odot O 内一点 EE，过 EE 作 BCBC 的平行线与 ADAD 的延长线相交于点 PP. 已知 PD=2DA=2PD=2DA=2，则 PE=‾PE=\underline{\hspace{2em}}.
\begin{answer} 6\sqrt6 \end{answer}
\begin{solution} 因为 PP，DD，AA 共线且 DD，AA 在 PP 的同一侧，所以 ∠EPD=∠EPA\angle EPD=\angle EPA. 又因 PE∥BCPE\parallel BC，EDED 与 CDCD 共线，EAEA 与 ABAB 共线，有 ∠PED=∠BCD\angle PED=\angle BCD，∠PAE=∠DAB\angle PAE=\angle DAB. 点 AA，BB，CC，DD 共圆，故 ∠BCD=∠DAB\angle BCD=\angle DAB，从而 ∠PED=∠PAE\angle PED=\angle PAE. 因此 △PED∼△PEA\triangle PED\sim\triangle PEA，对应边满足 PEPA=PDPE\dfrac{PE}{PA}=\dfrac{PD}{PE}，即 PE2=PA⋅PDPE^2=PA\cdot PD. 由 PD=2DA=2PD=2DA=2 得 DA=1DA=1，从而 PA=PD+DA=3PA=PD+DA=3. 所以 PE2=3×2=6PE^2=3\times2=6，又 PE>0PE>0，故 PE=6PE=\sqrt6. \end{solution}

2013 · 陕西 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17解析几何★★★☆☆
如图，以过原点的直线的倾斜角 θ\theta 为参数，则圆 x2+y2−x=0x^2+y^2-x=0 的参数方程为______.
\begin{answer} x=cos⁡2θx=\cos^2\theta，y=sin⁡θcos⁡θy=\sin\theta\cos\theta \end{answer}
\begin{solution} 过原点的直线斜率为 tan⁡θ\tan\theta，故非竖直时可写为 y=xtan⁡θy=x\tan\theta. 代入圆方程得 x2(1+tan⁡2θ)−x=0x^2(1+\tan^2\theta)-x=0，除去原点对应的交点后，另一个交点满足 x=11+tan⁡2θ=cos⁡2θx=\dfrac{1}{1+\tan^2\theta}=\cos^2\theta. 于是 y=xtan⁡θ=cos⁡2θtan⁡θ=sin⁡θcos⁡θy=x\tan\theta=\cos^2\theta\tan\theta=\sin\theta\cos\theta. 当 cos⁡θ=0\cos\theta=0 时，上式给出原点，也满足圆方程，因此参数方程为 x=cos⁡2θx=\cos^2\theta，y=sin⁡θcos⁡θy=\sin\theta\cos\theta. \end{solution}

2013 · 陕西 · 理 · 第 17 题 · 填空题

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18平面向量★★★☆☆
已知向量 a=(cos⁡x,−12)\boldsymbol{a}=\left(\cos x,-\dfrac12\right)，b=(3sin⁡x,cos⁡2x)\boldsymbol{b}=\left(\sqrt3\sin x,\cos2x\right)，x∈Rx\in\mathbf{R}，设函数 f(x)=a⋅bf(x)=\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}.
(1) 求 f(x)f(x) 的最小正周期. (2) 求 f(x)f(x) 在 [0,π2]\left[0,\dfrac\pi2\right] 上的最大值和最小值.

2013 · 陕西 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19数列★★★☆☆
设 {an}\{a_n\} 是公比为 qq 的等比数列.
(1) 推导 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和公式； (2) 设 q≠1q\neq1，证明数列 {an+1}\{a_n+1\} 不是等比数列.

2013 · 陕西 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20立体几何初步★★★☆☆
如图，四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 的底面 ABCDABCD 是正方形，OO 为底面中心，A1O⊥A_{1}O\perp 平面 ABCDABCD，AB=AA1=2AB=AA_{1}=\sqrt2.
(1) 证明：A1C⊥A_{1}C\perp 平面 BB1D1DBB_{1}D_{1}D. (2) 求平面 OCB1OCB_{1} 与平面 BB1D1DBB_{1}D_{1}D 的夹角 θ\theta 的大小.

2013 · 陕西 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21概率与统计★★★☆☆
在一场娱乐晚会上，有 55 位民间歌手（11 至 55 号）登台演唱. 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选 33 名歌手，其中观众甲是 11 号歌手的歌迷，他必选 11 号，不选 22 号，另在 33 至 55 号中随机选 22 名. 观众乙和丙对 55 位歌手的演唱没有偏爱，因此在 11 至 55 号中随机选 33 名歌手.
(1) 求观众甲选中 33 号歌手且观众乙未选中 33 号歌手的概率； (2) XX 表示 33 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求 XX 的分布列和数学期望.

2013 · 陕西 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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