观察下列各式： $5^{5} = 3125$，$5^{6} = 15625$，$5^{7} = 78125$，$\cdots$，则 $5^{2011}$ 的末四位数字为（ ）

已知 $\alpha_{1}$，$\alpha_{2}$，$\alpha_{3}$ 是三个相互平行的平面，平面 $\alpha_{1}$，$\alpha_{2}$ 之间的距离为 $d_{1}$，平面 $\alpha_{2}$，$\alpha_{3}$ 之间的距离为 $d_{2}$. 直线 $l$ 与 $\alpha_{1}$，$\alpha_{2}$，$\alpha_{3}$ 分别交于 $P_{1}$，$P_{2}$，$P_{3}$. 那么“$P_{1}P_{2} = P_{2}P_{3}$”是“$d_{1} = d_{2}$”的（ ）

若曲线 $C_{1}: x^{2} + y^{2} - 2x = 0$ 与曲线 $C_{2}: y (y - mx - m) = 0$ 有四个不同的交点，则实数 $m$ 的取值范围是（ ）

若椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 的焦点在 $x$ 轴上，过点 $\left(1, \frac{1}{2}\right)$ 作圆 $x^2 + y^2 = 1$ 的切线. 切点分别为 $A$，$B$，直线 $AB$ 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是______.

某饮料公司招聘一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别. 公司准备了两种不同的饮料共 $8\text{ 杯}$，其颜色完全相同，并且其中 $4\text{ 杯}$ 为 A 饮料，另外 $4\text{ 杯}$ 为 B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从 $8\text{ 杯}$ 饮料中选出 $4\text{ 杯}$ A 饮料. 若 $4\text{ 杯}$ 都选对，则月工资定为 $3500\text{ 元}$；若 $4\text{ 杯}$ 选对 $3\text{ 杯}$，则月工资定为 $2800\text{ 元}$；否则月工资定为 $2100\text{ 元}$. 令 $X$ 表示此人选对 A 饮料的杯数. 假设此人对 A 和 B 两种饮料没有鉴别能力.

(1) 求 $X$ 的分布列； (2) 求此员工月工资的期望.

在 $\triangle ABC$ 中，角 $A$，$B$，$C$ 的对边分别是 $a$，$b$，$c$，已知 $\sin C + \cos C = 1 - \sin \frac{C}{2}$.

(1) 求 $\sin C$ 的值； (2) 若 $a^2 + b^2 = 4(a + b) - 8$，求边 $c$ 的值.