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04立体几何初步★★★☆☆
已知三棱锥 D−ABCD - ABC 的三个侧面与底面全等，且 AB=AC=3AB = AC = \sqrt{3}，BC=2BC = 2，则以 BCBC 为棱，以面 BCDBCD 与面 BCABCA 为面的二面角的大小是（\quad）
A.
arccos⁡33\arccos \frac{\sqrt{3}}{3}
B.
arccos⁡13\arccos \frac{1}{3}
C.
π2\frac{\pi}{2}
D.
2π3\frac{2\pi}{3}

1997 · 全国 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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13函数与初等函数★★★☆☆
定义在区间 (−∞,+∞)(-\infty, +\infty) 的奇函数 f(x)f(x) 为增函数，偶函数 g(x)g(x) 在区间 [0,+∞)[0, +\infty) 的图象与 f(x)f(x) 的图象重合，设 a>b>0a > b > 0，给出下列不等式：
① f(b)−f(−a)>g(a)−g(−b)f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b)； ② f(b)−f(−a)<g(a)−g(−b)f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b)； ③ f(a)−f(−b)>g(b)−g(−a)f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a)； ④ f(a)−f(−b)<g(b)−g(−a)f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a).
其中成立的是（\quad）
A.
\circled1\circled{1}与\circled4\circled{4}
B.
\circled2\circled{2}与\circled3\circled{3}
C.
\circled1\circled{1}与\circled3\circled{3}
D.
\circled2\circled{2}与\circled4\circled{4}

1997 · 全国 · 理 · 第 13 题 · 选择题

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14不等式★★★☆☆
不等式组
{x>0,3−x3+x>∣2−x2+x∣\begin{cases} x>0,\\ \frac{3-x}{3+x} > \left|\frac{2-x}{2+x}\right| \end{cases}
的解集是（\quad）
A.
{x∣0<x<2}\{x \mid 0 < x < 2\}
B.
{x∣0<x<2.5}\{x \mid 0 < x < 2.5\}
C.
{x∣0<x<6}\{x \mid 0 < x < \sqrt{6}\}
D.
{x∣0<x<3}\{x \mid 0 < x < 3\}

1997 · 全国 · 理 · 第 14 题 · 选择题

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16计数原理与组合数学★★★☆☆
已知 (ax−x2)9\left(\frac{a}{x} - \sqrt{\frac{x}{2}}\right)^{9} 的展开式中 x3x^{3} 的系数为 94\frac{9}{4}，常数 aa 的值为______.

1997 · 全国 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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18三角函数★★★☆☆
sin⁡7∘+cos⁡15∘sin⁡8∘cos⁡7∘−sin⁡15∘sin⁡8∘\frac{\sin 7^{\circ} + \cos 15^{\circ} \sin 8^{\circ}}{\cos 7^{\circ} - \sin 15^{\circ} \sin 8^{\circ}} 的值为______.

1997 · 全国 · 理 · 第 18 题 · 填空题

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19立体几何初步★★★☆☆
已知 mm，ll 是直线，α\alpha，β\beta 是平面，给出下列命题：
① 若 ll 垂直于 α\alpha 内的两条相交直线，则 l⊥αl \perp \alpha； ② 若 ll 平行于 α\alpha，则 ll 平行于 α\alpha 内的所有直线； ③ 若 m⊂αm \subset \alpha，l⊂βl \subset \beta，且 l⊥ml \perp m，则 α⊥β\alpha \perp \beta； ④ 若 l⊂βl \subset \beta，且 l⊥αl \perp \alpha，则 α⊥β\alpha \perp \beta； ⑤ 若 m⊂αm \subset \alpha，l⊂βl \subset \beta，且 α∥β\alpha \parallel \beta，则 m∥lm \parallel l.
其中正确的命题的序号是______.

1997 · 全国 · 理 · 第 19 题 · 填空题

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20复数★★★☆☆
已知复数 z=32−12iz = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}\mathrm{i}，ω=22+22i\omega = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{i}. 复数 zω‾\overline{z\omega}，z2ω3z^{2}\omega^{3} 在复数平面上所对应的点分别为 PP，QQ. 证明 △OPQ\triangle OPQ 是等腰直角三角形（其中 OO 为原点）.

1997 · 全国 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★☆☆
甲，乙两地相距 S 千米S\text{ 千米}，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过 c 千米/时c\text{ 千米/时}. 已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度 v 千米/时v\text{ 千米/时} 的平方成正比，比例系数为 bb；固定部分为 a 元a\text{ 元}.
(1) 把全程运输成本 y 元y\text{ 元} 表示为速度 v 千米/时v\text{ 千米/时} 的函数，并指出这个函数的定义域； (2) 为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？

1997 · 全国 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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