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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设集合 M={x∣0⩽x<2}M = \{x \mid 0 \leqslant x < 2\}，集合 N={x∣x2−2x−3<0}N = \{x \mid x^2 - 2x - 3 < 0\}，集合 M∩N=M \cap N =（\quad）
A.
{x∣0⩽x<1}\{x \mid 0\leqslant x < 1\}
B.
{x∣0⩽x<2}\{x \mid 0\leqslant x < 2\}
C.
{x∣0⩽x⩽1}\{x \mid 0\leqslant x\leqslant 1\}
D.
{x∣0⩽x⩽2}\{x \mid 0\leqslant x\leqslant 2\}

1997 · 全国 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02解析几何★☆☆☆☆
如果直线 ax+2y+2=0ax + 2y + 2 = 0 与直线 3x−y−2=03x - y - 2 = 0 平行，那么系数 a=a =（\quad）
A.
−3-3
B.
−6-6
C.
−32-\frac{3}{2}
D.
23\frac{2}{3}

1997 · 全国 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03三角函数★★☆☆☆
函数 y=tan⁡(12x−π3)y = \tan \left(\frac{1}{2}x - \frac{\pi}{3}\right) 在一个周期内的图象是（\quad）
A.
B.
C.
D.

1997 · 全国 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04立体几何初步★★★☆☆
已知三棱锥 D−ABCD - ABC 的三个侧面与底面全等，且 AB=AC=3AB = AC = \sqrt{3}，BC=2BC = 2，则以 BCBC 为棱，以面 BCDBCD 与面 BCABCA 为面的二面角的大小是（\quad）
A.
arccos⁡33\arccos \frac{\sqrt{3}}{3}
B.
arccos⁡13\arccos \frac{1}{3}
C.
π2\frac{\pi}{2}
D.
2π3\frac{2\pi}{3}

1997 · 全国 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05三角函数★★☆☆☆
函数 y=sin⁡(π3−2x)+cos⁡2xy = \sin \left(\frac{\pi}{3} - 2x\right) + \cos 2x 的最小正周期是（\quad）
A.
π2\frac{\pi}{2}
B.
π\pi
C.
2π2\pi
D.
4π4\pi

1997 · 全国 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06三角函数★★☆☆☆
满足 arccos⁡(1−x)⩾arccos⁡x\arccos(1 - x)\geqslant \arccos x 的 xx 的取值范围是（\quad）
A.
[−1,−12]\left[-1, -\frac{1}{2}\right]
B.
[−12,0]\left[-\frac{1}{2},0\right]
C.
[0,12]\left[0,\frac{1}{2}\right]
D.
[12,1]\left[\frac{1}{2},1\right]

1997 · 全国 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07函数与初等函数★★☆☆☆
将 y=2xy = 2^x 的图象______，再作关于直线 y=xy = x 对称的图象，可得到函数 y=log⁡2(x+1)y = \log_{2}(x + 1) 的图象（\quad）
A.
先向左平行移动 11 个单位
B.
先向右平行移动 11 个单位
C.
先向上平行移动 11 个单位
D.
先向下平行移动 11 个单位

1997 · 全国 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08立体几何初步★★☆☆☆
长方体一个顶点上三条棱的长分别是 33，44，55，且它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是（\quad）
A.
202π20\sqrt{2}\pi
B.
252π25\sqrt{2}\pi
C.
50π50\pi
D.
200π200\pi

1997 · 全国 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09解析几何★★☆☆☆
曲线的参数方程是
{x=1−1t,y=1−t2,\begin{cases} x = 1 - \frac{1}{t},\\ y = 1 - t^2, \end{cases}
（tt 是参数，t≠0t \neq 0），它的普通方程是（\quad）
A.
(x−1)2(y−1)=1(x - 1)^{2}(y - 1) = 1
B.
y=x(x−2)(1−x)2y = \frac{x(x - 2)}{(1 - x)^2}
C.
y=1(1−x)2−1y = \frac{1}{(1 - x)^2} - 1
D.
y=x1−x2+1y = \frac{x}{1 - x^2} + 1

1997 · 全国 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10三角函数★★☆☆☆
函数 y=cos⁡2x−3cos⁡x+2y = \cos^2 x - 3\cos x + 2 的最小值为（\quad）
A.
22
B.
00
C.
−14-\frac{1}{4}
D.
66

1997 · 全国 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11解析几何★★☆☆☆
椭圆 CC 与椭圆 (x−3)29+(y−2)24=1\frac{(x - 3)^{2}}{9} + \frac{(y - 2)^{2}}{4} = 1 关于直线 x+y=0x + y = 0 对称，椭圆 CC 的方程是（\quad）
A.
(x+2)24+(y+3)29=1\frac{(x + 2)^2}{4} + \frac{(y + 3)^2}{9} = 1
B.
(x−2)29+(y−3)24=1\frac{(x - 2)^2}{9} + \frac{(y - 3)^2}{4} = 1
C.
(x+2)29+(y+3)24=1\frac{(x + 2)^2}{9} + \frac{(y + 3)^2}{4} = 1
D.
(x−2)24+(y−3)29=1\frac{(x - 2)^2}{4} + \frac{(y - 3)^2}{9} = 1

1997 · 全国 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12立体几何初步★★☆☆☆
圆台上，下底面积分别为 π\pi，4π4\pi，侧面积为 6π6\pi，这个圆台体积是（\quad）
A.
23π3\frac{2\sqrt{3}\pi}{3}
B.
23π2\sqrt{3}\pi
C.
73π6\frac{7\sqrt{3}\pi}{6}
D.
73π3\frac{7\sqrt{3}\pi}{3}

1997 · 全国 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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13函数与初等函数★★★☆☆
定义在区间 (−∞,+∞)(-\infty, +\infty) 的奇函数 f(x)f(x) 为增函数，偶函数 g(x)g(x) 在区间 [0,+∞)[0, +\infty) 的图象与 f(x)f(x) 的图象重合，设 a>b>0a > b > 0，给出下列不等式：
① f(b)−f(−a)>g(a)−g(−b)f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b)； ② f(b)−f(−a)<g(a)−g(−b)f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b)； ③ f(a)−f(−b)>g(b)−g(−a)f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a)； ④ f(a)−f(−b)<g(b)−g(−a)f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a).
其中成立的是（\quad）
A.
\circled1\circled{1}与\circled4\circled{4}
B.
\circled2\circled{2}与\circled3\circled{3}
C.
\circled1\circled{1}与\circled3\circled{3}
D.
\circled2\circled{2}与\circled4\circled{4}

1997 · 全国 · 理 · 第 13 题 · 选择题

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14不等式★★★☆☆
不等式组
{x>0,3−x3+x>∣2−x2+x∣\begin{cases} x>0,\\ \frac{3-x}{3+x} > \left|\frac{2-x}{2+x}\right| \end{cases}
的解集是（\quad）
A.
{x∣0<x<2}\{x \mid 0 < x < 2\}
B.
{x∣0<x<2.5}\{x \mid 0 < x < 2.5\}
C.
{x∣0<x<6}\{x \mid 0 < x < \sqrt{6}\}
D.
{x∣0<x<3}\{x \mid 0 < x < 3\}

1997 · 全国 · 理 · 第 14 题 · 选择题

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15计数原理与组合数学★★★★☆
四面体的顶点和各棱中点共 1010 个点，在其中取 44 个不共面的点，不同的取法共有（\quad）
A.
150150 种
B.
147147 种
C.
144144 种
D.
141141 种

1997 · 全国 · 理 · 第 15 题 · 选择题

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16计数原理与组合数学★★★☆☆
已知 (ax−x2)9\left(\frac{a}{x} - \sqrt{\frac{x}{2}}\right)^{9} 的展开式中 x3x^{3} 的系数为 94\frac{9}{4}，常数 aa 的值为______.

1997 · 全国 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17解析几何★★☆☆☆
已知直线的极坐标方程为 ρsin⁡(θ+π4)=22\rho \sin \left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}，则极点到该直线的距离是______.

1997 · 全国 · 理 · 第 17 题 · 填空题

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18三角函数★★★☆☆
sin⁡7∘+cos⁡15∘sin⁡8∘cos⁡7∘−sin⁡15∘sin⁡8∘\frac{\sin 7^{\circ} + \cos 15^{\circ} \sin 8^{\circ}}{\cos 7^{\circ} - \sin 15^{\circ} \sin 8^{\circ}} 的值为______.

1997 · 全国 · 理 · 第 18 题 · 填空题

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19立体几何初步★★★☆☆
已知 mm，ll 是直线，α\alpha，β\beta 是平面，给出下列命题：
① 若 ll 垂直于 α\alpha 内的两条相交直线，则 l⊥αl \perp \alpha； ② 若 ll 平行于 α\alpha，则 ll 平行于 α\alpha 内的所有直线； ③ 若 m⊂αm \subset \alpha，l⊂βl \subset \beta，且 l⊥ml \perp m，则 α⊥β\alpha \perp \beta； ④ 若 l⊂βl \subset \beta，且 l⊥αl \perp \alpha，则 α⊥β\alpha \perp \beta； ⑤ 若 m⊂αm \subset \alpha，l⊂βl \subset \beta，且 α∥β\alpha \parallel \beta，则 m∥lm \parallel l.
其中正确的命题的序号是______.

1997 · 全国 · 理 · 第 19 题 · 填空题

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20复数★★★☆☆
已知复数 z=32−12iz = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}\mathrm{i}，ω=22+22i\omega = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{i}. 复数 zω‾\overline{z\omega}，z2ω3z^{2}\omega^{3} 在复数平面上所对应的点分别为 PP，QQ. 证明 △OPQ\triangle OPQ 是等腰直角三角形（其中 OO 为原点）.

1997 · 全国 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_{n}\}，{bn}\{b_{n}\} 都是由正数组成的等比数列，公比分别为 pp，qq，其中 p>qp > q，且 p≠1p \neq 1，q≠1q \neq 1. 设 cn=an+bnc_{n} = a_{n} + b_{n}，SnS_{n} 为数列 {cn}\{c_{n}\} 的前 nn 项和. 求 lim⁡n→∞SnSn−1\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{S_{n}}{S_{n-1}}.

1997 · 全国 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★☆☆
甲，乙两地相距 S 千米S\text{ 千米}，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过 c 千米/时c\text{ 千米/时}. 已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度 v 千米/时v\text{ 千米/时} 的平方成正比，比例系数为 bb；固定部分为 a 元a\text{ 元}.
(1) 把全程运输成本 y 元y\text{ 元} 表示为速度 v 千米/时v\text{ 千米/时} 的函数，并指出这个函数的定义域； (2) 为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？

1997 · 全国 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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23立体几何初步★★★★☆
如图，在正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，EE，FF 分别是 BB1BB_{1}，CDCD 的中点.
(1) 证明：AD⊥D1FAD \perp D_{1}F； (2) 求 AEAE 与 D1FD_{1}F 所成的角； (3) 证明：面 AEDAED ⊥\perp 面 A1FD1A_{1}FD_{1}； (4) 设 AA1=2AA_{1} = 2，求三棱锥 F−A1ED1F - A_{1}ED_{1} 的体积.

1997 · 全国 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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24函数与初等函数★★★★☆
设二次函数 f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^{2} + bx + c（a>0a > 0），方程 f(x)−x=0f(x) - x = 0 的两个根 x1x_{1}，x2x_{2} 满足 0<x1<x2<1a0 < x_{1} < x_{2} < \frac{1}{a}.
(1) 当 x∈(0,x1)x \in (0, x_{1}) 时，证明 x<f(x)<x1x < f(x) < x_{1}； (2) 设函数 f(x)f(x) 的图象关于直线 x=x0x = x_{0} 对称，证明 x0<x12x_{0} < \frac{x_{1}}{2}.

1997 · 全国 · 理 · 第 24 题 · 解答题

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25解析几何★★★★☆
设圆满足：
① 截 yy 轴所得弦长为 22； ② 被 xx 轴分成两段圆弧，其弧长的比为 3:13:1.
在满足上述两条件的所有圆中，求圆心到直线 l ⁣:x−2y=0l\colon x - 2y = 0 的距离最小的圆的方程.

1997 · 全国 · 理 · 第 25 题 · 解答题

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