求证：$\cot22^{\circ}30'=1+\sqrt2$. （注）$\cot$ 是余切的符号.

解方程组 . （注）$\lg$ 是以 $10$ 为底的对数 $\log_{10}$ 的符号.

若 $\triangle ABC$ 为锐角三角形，以 $BC$ 边为直径作圆，并从 $A$ 作此圆的切线 $AD$ 与圆切于 $D$. 又在 $AB$ 边上取 $AE$ 等于 $AD$，并过 $E$ 作 $AB$ 的垂线与 $AC$ 边的延长线交于 $F$，求证：

(1) $AE:AB=AC:AF$； (2) $\triangle ABC$ 的面积 $=\triangle AEF$ 的面积.