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01指数函数与对数函数★☆☆☆☆
化简 (279)12+0.1−2+(21027)−23\left(2\frac{7}{9}\right)^{\frac{1}{2}}+0.1^{-2}+\left(2\frac{10}{27}\right)^{-\frac{2}{3}}.

1957 · 全国 · 第 1 题 · 解答题

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02不等式★☆☆☆☆
求适合不等式 x2+x<2x^{2}+x<2 的实数 xx 的范围.

1957 · 全国 · 第 2 题 · 解答题

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03三角函数★★★☆☆
求证：cot⁡22∘30′=1+2\cot22^{\circ}30'=1+\sqrt2. （注）cot⁡\cot 是余切的符号.

1957 · 全国 · 第 3 题 · 解答题

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04立体几何初步★★☆☆☆
在四面体 ABCDABCD 中，AC=BDAC=BD，PP，QQ，RR，SS 依次为棱 ABAB，BCBC，CDCD，DADA 的中点. 求证 PQRSPQRS 为一菱形.

1957 · 全国 · 第 4 题 · 解答题

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05立体几何初步★★★★☆
设 aa，bb 为异面二直线，EFEF 为 aa，bb 的公垂线，α\alpha 为过 EFEF 中点且与 aa，bb 平行的平面，MM 为 aa 上任一点，NN 为 bb 上任一点. 求证：线段 MNMN 被平面 α\alpha 二等分. （注）“异面二直线”也叫“不共面二直线”.

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06指数函数与对数函数★★★☆☆
解方程组
{lg⁡(2x+1)+lg⁡(y−2)=1,10xy=10x⋅10y\begin{cases} \lg(2x+1)+\lg(y-2)=1,\\ 10^{xy}=10^{x}\cdot10^{y} \end{cases}
. （注）lg⁡\lg 是以 1010 为底的对数 log⁡10\log_{10} 的符号.

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07三角函数★★★★☆
若 △ABC\triangle ABC 的内切圆半径为 rr，求证 BCBC 边上的高 AD=2rcos⁡B2cos⁡C2sin⁡A2AD=\dfrac{2r\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}}{\sin\frac{A}{2}}.

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08三角函数★★★☆☆
若 △ABC\triangle ABC 为锐角三角形，以 BCBC 边为直径作圆，并从 AA 作此圆的切线 ADAD 与圆切于 DD. 又在 ABAB 边上取 AEAE 等于 ADAD，并过 EE 作 ABAB 的垂线与 ACAC 边的延长线交于 FF，求证：
(1) AE:AB=AC:AFAE:AB=AC:AF； (2) △ABC\triangle ABC 的面积 =△AEF=\triangle AEF 的面积.

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09函数与初等函数★★★★☆
(1) 求证：方程 x3−(2+1)x2+(2−q)x+q=0x^{3}-(\sqrt2+1)x^{2}+(\sqrt2-q)x+q=0 的一个根是 11. (2) 设这个方程的三个根是一个 △ABC\triangle ABC 的三个内角的正弦 sin⁡A\sin A，sin⁡B\sin B，sin⁡C\sin C，求 AA，BB，CC 的度数及 qq 的数值.

1957 · 全国 · 第 9 题 · 解答题

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