某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图 1 所示. 墩的上半部分是正四棱锥 $P-EFGH$，下半部分是长方体 $ABCD-EFGH$. 图 2，图 3 分别是该标识墩的正（主）视图和俯视图（单位：$\mathrm{~cm}$）.

(1) 请画出该安全标识墩的侧（左）视图； (2) 求该安全标识墩的体积； (3) 证明：直线 $BD \perp$ 平面 $PEG$.

随机抽取某中学甲，乙两班各 10 名同学，测量他们的身高（单位：$\mathrm{~cm}$），获得身高数据的茎叶图如图.

(1) 根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高； (2) 计算甲班的样本方差； (3) 现从乙班这 10 名同学中随机抽取两名身高不低于 $173 \mathrm{~cm}$ 的同学，求身高为 $176 \mathrm{~cm}$ 的同学被抽中的概率.

已知椭圆 $G$ 的中心在坐标原点，长轴在 $x$ 轴上，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，两个焦点分别为 $F_{1}$ 和 $F_{2}$，椭圆 $G$ 上一点到 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ 的距离之和为 12. 圆 $C_{k}: x^{2} + y^{2} + 2kx - 4y - 21 = 0$（$k \in \mathbf{R}$）的圆心为点 $A_{k}$.

(1) 求椭圆 $G$ 的方程； (2) 求 $\triangle A_{k}F_{1}F_{2}$ 面积； (3) 问是否存在圆 $C_{k}$ 包围椭圆 $G$？请说明理由.