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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知全集 U=RU = \mathbf{R}，则正确表示集合 M={−1,0,1}M = \{-1, 0, 1\} 和 N={x∣x2+x=0}N = \{x \mid x^2 + x = 0\} 关系的韦恩（Venn）图是（ ）

2009 · 广东 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02复数★☆☆☆☆
下列 nn 的取值中，使 in=1\mathrm{i}^n = 1（i\mathrm{i} 是虚数单位）的是（ ）
A.
n=2n = 2
B.
n=3n = 3
C.
n=4n = 4
D.
n=5n = 5

2009 · 广东 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03平面向量★☆☆☆☆
已知平面向量 a=(x,1)\boldsymbol{a} = (x, 1)，b=(−x,x2)\boldsymbol{b} = (-x, x^{2})，则向量 a+b\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}（ ）
A.
平行于 xx 轴
B.
平行于第一、三象限的角平分线
C.
平行于 yy 轴
D.
平行于第二、四象限的角平分线

2009 · 广东 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04指数函数与对数函数★☆☆☆☆
若函数 y=f(x)y = f(x) 是函数 y=axy = a^x（a>0a > 0，且 a≠1a \neq 1）的反函数，且 f(2)=1f(2) = 1，则 f(x)=f(x) =（ ）
A.
log⁡2x\log_2 x
B.
12x\frac{1}{2^x}
C.
log⁡12x\log_{\frac{1}{2}} x
D.
2x−22^{x - 2}

2009 · 广东 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05数列★★☆☆☆
已知等比数列 {an}\{a_n\} 的公比为正数，且 a3⋅a9=2a52a_3 \cdot a_9 = 2a_5^2，a2=1a_2 = 1，则 a1=a_1 =（ ）
A.
12\frac{1}{2}
B.
22\frac{\sqrt{2}}{2}
C.
2\sqrt{2}
D.
22

2009 · 广东 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06立体几何初步★★☆☆☆
给定下列四个命题：
① 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ② 若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③ 垂直于同一直线的两条直线相互平行； ④ 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.
其中，为真命题的是（ ）
A.
①和②
B.
②和③
C.
③和④
D.
②和④

2009 · 广东 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07三角函数★★☆☆☆
已知 △ABC\triangle ABC 中，∠A\angle A，∠B\angle B，∠C\angle C 的对边分别为 aa，bb，cc. 若 a=c=6+2a = c = \sqrt{6} + \sqrt{2}，且 ∠A=75∘\angle A = 75^{\circ}，则 b=b =（ ）
A.
22
B.
4+234 + 2\sqrt{3}
C.
4−234 - 2\sqrt{3}
D.
6−2\sqrt{6} -\sqrt{2}

2009 · 广东 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08导数及其应用★★☆☆☆
函数 f(x)=(x−3)exf(x) = (x - 3)\mathrm{e}^x 的单调递增区间是（ ）
A.
(−∞,2)(- \infty, 2)
B.
(0,3)(0,3)
C.
(1,4)(1,4)
D.
(2,+∞)(2, +\infty)

2009 · 广东 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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09三角函数★★☆☆☆
函数 y=2cos⁡2(x−π4)−1y = 2\cos^2 \left( x - \frac{\pi}{4} \right) - 1 是（ ）
A.
最小正周期为 π\pi 的奇函数
B.
最小正周期为 π\pi 的偶函数
C.
最小正周期为 π2\frac{\pi}{2} 的奇函数
D.
最小正周期为 π2\frac{\pi}{2} 的偶函数

2009 · 广东 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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10计数原理与组合数学★★☆☆☆
广州 2010 年亚运会火炬传递在 AA，BB，CC，DD，EE 五个城市之间进行，各城市之间的距离（单位：百公里）见下表. 若以 AA 为起点，EE 为终点，每个城市经过且只经过一次，那么火炬传递的最短路线距离是（ ）
A.
20.620.6
B.
2121
C.
2222
D.
2323

2009 · 广东 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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11概率与统计★★☆☆☆
某篮球队 6 名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示：
如图是统计该 6 名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填______，输出的 s=s=______.（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“：=”）

2009 · 广东 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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12概率与统计★☆☆☆☆
某单位 200 名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取 40 名职工作样本. 用系统抽样法，将全体职工随机按 1∼2001 \sim 200 编号，并按编号顺序平均分为 40 组（1∼51 \sim 5 号，6∼106 \sim 10 号，⋯\cdots，196∼200196 \sim 200 号）. 若第 5 组抽出的号码为 22，则第 8 组抽出的号码应是______. 若用分层抽样方法，则 40 岁40\text{ 岁}以下年龄段应抽取______人.

2009 · 广东 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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13解析几何★★☆☆☆
以点 (2,−1)(2,-1) 为圆心且与直线 x+y=6x + y = 6 相切的圆的方程是______.

2009 · 广东 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14解析几何★★☆☆☆
若直线
{x=1−2t,y=2+3t,\begin{cases} x = 1 - 2t,\\ y = 2 + 3t, \end{cases}
（tt 为参数）与直线 4x+ky=14x + ky = 1 垂直，则常数 k=k =______.

2009 · 广东 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15三角函数★★☆☆☆
如图，点 AA，BB，CC 是圆 OO 上的点，且 AB=4AB = 4，∠ACB=30∘\angle ACB = 30^{\circ}，则圆 OO 的面积等于______.

2009 · 广东 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16平面向量★★☆☆☆
已知向量 a=(sin⁡θ,−2)\boldsymbol{a} = (\sin\theta, -2) 与 b=(1,cos⁡θ)\boldsymbol{b} = (1, \cos\theta) 互相垂直，其中 θ∈(0,π2)\theta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right).
(1) 求 sin⁡θcos⁡θ\sin\theta\cos\theta 的值； (2) 若 5cos⁡(θ−φ)=35cos⁡φ5\cos(\theta - \varphi) = 3\sqrt{5}\cos\varphi，0<φ<π20 < \varphi < \frac{\pi}{2}，求 cos⁡φ\cos\varphi 的值.

2009 · 广东 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★☆☆
某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图 1 所示. 墩的上半部分是正四棱锥 P−EFGHP-EFGH，下半部分是长方体 ABCD−EFGHABCD-EFGH. 图 2，图 3 分别是该标识墩的正（主）视图和俯视图（单位： cm\mathrm{~cm}）.
(1) 请画出该安全标识墩的侧（左）视图； (2) 求该安全标识墩的体积； (3) 证明：直线 BD⊥BD \perp 平面 PEGPEG.

2009 · 广东 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
随机抽取某中学甲，乙两班各 10 名同学，测量他们的身高（单位： cm\mathrm{~cm}），获得身高数据的茎叶图如图.
(1) 根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高； (2) 计算甲班的样本方差； (3) 现从乙班这 10 名同学中随机抽取两名身高不低于 173 cm173 \mathrm{~cm} 的同学，求身高为 176 cm176 \mathrm{~cm} 的同学被抽中的概率.
甲班乙班
99，99，11，001700，33，66，88，99
88，88，33，221622，55，88
881599

2009 · 广东 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19解析几何★★★☆☆
已知椭圆 GG 的中心在坐标原点，长轴在 xx 轴上，离心率为 32\frac{\sqrt{3}}{2}，两个焦点分别为 F1F_{1} 和 F2F_{2}，椭圆 GG 上一点到 F1F_{1} 和 F2F_{2} 的距离之和为 12. 圆 Ck:x2+y2+2kx−4y−21=0C_{k}: x^{2} + y^{2} + 2kx - 4y - 21 = 0（k∈Rk \in \mathbf{R}）的圆心为点 AkA_{k}.
(1) 求椭圆 GG 的方程； (2) 求 △AkF1F2\triangle A_{k}F_{1}F_{2} 面积； (3) 问是否存在圆 CkC_{k} 包围椭圆 GG？请说明理由.

2009 · 广东 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20数列★★★★☆
已知点 (1,13)\left(1, \frac{1}{3}\right) 是函数 f(x)=axf(x) = a^x（a>0a > 0，a≠1a \neq 1）的图象上一点. 等比数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 f(n)−cf(n) - c. 数列 {bn}\{b_n\}（bn>0b_n > 0）的首项为 cc，且前 nn 项和 SnS_n 满足 Sn−Sn−1=Sn+Sn−1S_n - S_{n-1} = \sqrt{S_n} + \sqrt{S_{n-1}}（n≥2n \ge 2）.
(1) 求数列 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 的通项公式； (2) 若数列 {1bnbn+1}\left\{\frac{1}{b_n b_{n+1}}\right\} 的前 nn 项和为 TnT_n，问满足 Tn>10002009T_n > \frac{1000}{2009} 的最小正整数 nn 是多少？

2009 · 广东 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
已知二次函数 y=g(x)y = g(x) 的导函数的图象与直线 y=2xy = 2x 平行，且 y=g(x)y = g(x) 在 x=−1x = -1 处取得极小值 m−1m - 1（m≠0m \neq 0）. 设 f(x)=g(x)xf(x) = \frac{g(x)}{x}.
(1) 若曲线 y=f(x)y = f(x) 上的点 PP 到点 Q(0,2)Q(0,2) 的距离的最小值为 2\sqrt{2}，求 mm 的值； (2) kk（k∈Rk \in \mathbf{R}）如何取值时，函数 y=f(x)−kxy = f(x) - kx 存在零点，并求出零点.

2009 · 广东 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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