自 $30^\circ$ 的二面角的一个面上一点 $A$ 作另一个面的垂线，垂足是 $B$，若已知 $AB$ 的长是 $a$，求 $A$ 点到二面角的棱的距离.

设 $\sin\alpha$ 和 $\sin\beta$ 是方程 $x^2-\left( \sqrt{2}\cos20^\circ \right)x+\left( \cos^2 20^\circ-\frac{1}{2} \right)=0$ 的两根，其中 $\alpha$，$\beta$ 是锐角，求 $\alpha$，$\beta$ 的度数.

有甲，乙两容器，甲容器是直圆柱形，高 $2\text{ 寸}$，底半径 $1\text{ 寸}$，乙容器是直圆锥形（锥底向上），高 $2\text{ 寸}$，底面半径 $2\sqrt{3}\text{ 寸}$，若将甲容器灌满水，然后把甲容器的一部分水倒入乙容器，使得甲乙两个容器的水面一样高，问这时水面的高度是多少？

已知 $\widehat{AB}$ 是 $\odot O$ 上含 $120^\circ$ 的弧，过 $A$，$B$ 两点所引 $\odot O$ 的切线交于 $C$，$\odot M$ 是与 $\widehat{AB}$，$AC$，$BC$ 都相切的圆，求证 $\odot M$ 的周长等于 $\odot O$ 的周长的 $\frac{1}{3}$.