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01不等式★★☆☆☆
解方程 x−5=x+7x-5=\sqrt{x+7}.

1958 · 北京 · 第 1 题 · 解答题

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02指数函数与对数函数★★☆☆☆
已知 lg⁡2=0.3010\lg 2=0.3010，试利用对数性质判定 27⋅811⋅5102^7\cdot 8^{11}\cdot 5^{10} 是几位数.

1958 · 北京 · 第 2 题 · 解答题

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03计数原理与组合数学★☆☆☆☆
由 5050 个不同的元素中选 4747 个，问有多少种选法？

1958 · 北京 · 第 3 题 · 解答题

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04三角函数★★☆☆☆
求 tan⁡(arctan⁡56−arctan⁡38)\tan\left( \arctan \frac{5}{6}-\arctan \frac{3}{8} \right) 之值.

1958 · 北京 · 第 4 题 · 解答题

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05三角函数★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，已知 ∠A=135∘\angle A=135^\circ，∠B=15∘\angle B=15^\circ，c=1c=1，问三角形的最大边长是多少？

1958 · 北京 · 第 5 题 · 解答题

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06立体几何初步★★☆☆☆
过球面上的两个不同点能作几个大圆？为什么？

1958 · 北京 · 第 6 题 · 解答题

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07立体几何初步★★★☆☆
自 30∘30^\circ 的二面角的一个面上一点 AA 作另一个面的垂线，垂足是 BB，若已知 ABAB 的长是 aa，求 AA 点到二面角的棱的距离.

1958 · 北京 · 第 7 题 · 解答题

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08不等式★★☆☆☆
已知二次函数 y=3+2x−x2y=3+2x-x^2.
(1) 问 xx 在什么范围内 y>0y>0？又 xx 在什么范围内 y<0y<0？ (2) 求出这个函数图象的顶点坐标和对称轴方程； (3) 画出这个函数的图象.

1958 · 北京 · 第 8 题 · 解答题

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09三角函数★★★☆☆
设 sin⁡α\sin\alpha 和 sin⁡β\sin\beta 是方程 x2−(2cos⁡20∘)x+(cos⁡220∘−12)=0x^2-\left( \sqrt{2}\cos20^\circ \right)x+\left( \cos^2 20^\circ-\frac{1}{2} \right)=0 的两根，其中 α\alpha，β\beta 是锐角，求 α\alpha，β\beta 的度数.

1958 · 北京 · 第 9 题 · 解答题

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10立体几何初步★★★☆☆
有甲，乙两容器，甲容器是直圆柱形，高 2 寸2\text{ 寸}，底半径 1 寸1\text{ 寸}，乙容器是直圆锥形（锥底向上），高 2 寸2\text{ 寸}，底面半径 23 寸2\sqrt{3}\text{ 寸}，若将甲容器灌满水，然后把甲容器的一部分水倒入乙容器，使得甲乙两个容器的水面一样高，问这时水面的高度是多少？

1958 · 北京 · 第 10 题 · 解答题

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11解析几何★★★☆☆
已知 AB^\widehat{AB} 是 ⊙O\odot O 上含 120∘120^\circ 的弧，过 AA，BB 两点所引 ⊙O\odot O 的切线交于 CC，⊙M\odot M 是与 AB^\widehat{AB}，ACAC，BCBC 都相切的圆，求证 ⊙M\odot M 的周长等于 ⊙O\odot O 的周长的 13\frac{1}{3}.

1958 · 北京 · 第 11 题 · 解答题

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