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04解析几何★★★☆☆
从原点向圆 x2+y2−12y+27=0x^2+y^2-12y+27=0 作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为（\quad）
A.
π\pi
B.
2π2\pi
C.
4π4\pi
D.
6π6\pi

2005 · 北京 · 秋季 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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06立体几何初步★★★☆☆
在正四面体 P−ABCP-ABC 中，DD，EE，FF 分别是 ABAB，BCBC，CACA 的中点，下面四个结论中不成立的是（\quad）
A.
BC∥BC\parallel 平面 PDFPDF
B.
DF⊥DF\perp 平面 PAEPAE
C.
平面 PDF⊥PDF\perp 平面 ABCABC
D.
平面 PAE⊥PAE\perp 平面 ABCABC

2005 · 北京 · 秋季 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07计数原理与组合数学★★★☆☆
北京《财富》全球论坛期间，某高校有 1414 名志愿者参加接待工作，若每天早，中，晚三班，每班 44 人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为（\quad）
A.
C1412C124C84\mathrm C_{14}^{12}\mathrm C_{12}^{4}\mathrm C_{8}^{4}
B.
C1412A124A84\mathrm C_{14}^{12}\mathrm A_{12}^{4}\mathrm A_{8}^{4}
C.
C1412C124C84A33\dfrac{\mathrm C_{14}^{12}\mathrm C_{12}^{4}\mathrm C_{8}^{4}}{\mathrm A_{3}^{3}}
D.
C1412C124C84A33\mathrm C_{14}^{12}\mathrm C_{12}^{4}\mathrm C_{8}^{4}\mathrm A_{3}^{3}

2005 · 北京 · 秋季 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08三角函数★★★☆☆
函数 f(x)=1−cos⁡2xcos⁡xf(x)=\dfrac{\sqrt{1-\cos2x}}{\cos x}（\quad）
A.
在 [0,π2)\left[0,\frac{\pi}{2}\right)，(π2,π]\left(\frac{\pi}{2},\pi\right] 上递增，在 [π,3π2)\left[\pi,\frac{3\pi}{2}\right)，(3π2,2π]\left(\frac{3\pi}{2},2\pi\right] 上递减
B.
在 [0,π2)\left[0,\frac{\pi}{2}\right)，(π,3π2]\left(\pi,\frac{3\pi}{2}\right] 上递增，在 [π2,π)\left[\frac{\pi}{2},\pi\right)，(3π2,2π]\left(\frac{3\pi}{2},2\pi\right] 上递减
C.
在 (π2,π]\left(\frac{\pi}{2},\pi\right]，(3π2,2π]\left(\frac{3\pi}{2},2\pi\right] 上递增，在 [0,π2)\left[0,\frac{\pi}{2}\right)，(π,3π2]\left(\pi,\frac{3\pi}{2}\right] 上递减
D.
在 [0,3π2)\left[0,\frac{3\pi}{2}\right)，(3π2,π]\left(\frac{3\pi}{2},\pi\right] 上递增，在 [0,π2)\left[0,\frac{\pi}{2}\right)，(π2,2π]\left(\frac{\pi}{2},2\pi\right] 上递减

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13指数函数与对数函数★★★☆☆
对于函数 f(x)f(x) 定义域中任意的 x1x_1，x2x_2（x1≠x2x_1\neq x_2），有如下结论：
① f(x1+x2)=f(x1)⋅f(x2)f(x_1+x_2)=f(x_1)\cdot f(x_2)； ② f(x1⋅x2)=f(x1)+f(x2)f(x_1\cdot x_2)=f(x_1)+f(x_2)； ③ f(x1)−f(x2)x1−x2>0\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}>0； ④ f(x1+x22)<f(x1)+f(x2)2f\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}\right)<\dfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2}.
当 f(x)=lg⁡xf(x)=\lg x 时，上述结论中正确结论的序号是______.

2005 · 北京 · 秋季 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14计数原理与组合数学★★★☆☆
已知 nn 次多项式 Pn(x)=a0xn+a1xn−1+⋯+an−1x+anP_n(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n. 如果在一种算法中，计算 x0kx_0^k（k=2k=2，33，44，⋯\cdots，nn）的值需要 k−1k-1 次乘法，计算 P3(x0)P_3(x_0) 的值共需要 99 次运算（66 次乘法，33 次加法），那么计算 P10(x0)P_{10}(x_0) 的值共需要______ 次运算.
下面给出一种减少运算次数的算法：P0(x)=a0P_0(x)=a_0，Pk+1(x)=xPk(x)+ak+1P_{k+1}(x)=xP_k(x)+a_{k+1}（k=0k=0，11，22，⋯\cdots，n−1n-1）. 利用该算法，计算 P3(x0)P_3(x_0) 的值共需要 66 次运算，计算 P10(x0)P_{10}(x_0) 的值共需要______ 次运算.

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15导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=−x3+3x2+9x+af(x)=-x^3+3x^2+9x+a.
(1) 求 f(x)f(x) 的单调减区间； (2) 若 f(x)f(x) 在区间 [−2,2][-2,2] 上的最大值为 2020，求它在该区间上的最小值.

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17概率与统计★★★☆☆
甲，乙两人各进行 33 次射击，甲每次击中目标的概率为 12\frac{1}{2}，乙每次击中目标的概率为 23\frac{2}{3}.
(1) 记甲击中目标的次数为 ξ\xi，求 ξ\xi 的概率分布及数学期望 E(ξ)E(\xi)； (2) 求乙至多击中目标 22 次的概率； (3) 求甲恰好比乙多击中目标 22 次的概率.

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19数列★★★☆☆
设数列 {an}\{a_n\} 的首项 a1=a≠14a_1=a\neq\frac{1}{4}，且
an+1={12an,n 为偶数,an+14,n 为奇数.a_{n+1}= \begin{cases} \dfrac{1}{2}a_n, & n\text{ 为偶数},\\ a_n+\dfrac{1}{4}, & n\text{ 为奇数}. \end{cases}
记 bn=a2n−1−14b_n=a_{2n-1}-\dfrac{1}{4}，n=1n=1，22，33，⋯\cdots.
(1) 求 a2a_2，a3a_3； (2) 判断数列 {bn}\{b_n\} 是否为等比数列，并证明你的结论； (3) 求 lim⁡n→∞(b1+b2+⋯+bn)\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(b_1+b_2+\cdots+b_n\right).

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