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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设全集 U=RU=\mathbf{R}，集合 M={x∣x>1}M=\{x\mid x>1\}，P={x∣x2>1}P=\{x\mid x^2>1\}，则下列关系中正确的是（\quad）
A.
M=PM=P
B.
P⊊MP \subsetneq M
C.
M⊊PM \subsetneq P
D.
∁UM∩P=∅\complement_U M \cap P=\emptyset

2005 · 北京 · 秋季 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02解析几何★★☆☆☆
“m=12m=\frac{1}{2}”是“直线 (m+2)x+3my+1=0(m+2)x+3my+1=0 与直线 (m−2)x+(m+2)y−3=0(m-2)x+(m+2)y-3=0 相互垂直”的（\quad）
A.
充分必要条件
B.
充分而不必要条件
C.
必要而不充分条件
D.
既不充分也不必要条件

2005 · 北京 · 秋季 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03平面向量★★☆☆☆
若 ∣a∣=1\left|\boldsymbol{a}\right|=1，∣b∣=2\left|\boldsymbol{b}\right|=2，c=a+b\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}，且 c⊥a\boldsymbol{c}\perp\boldsymbol{a}，则向量 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 的夹角为（\quad）
A.
30∘30^{\circ}
B.
60∘60^{\circ}
C.
120∘120^{\circ}
D.
150∘150^{\circ}

2005 · 北京 · 秋季 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04解析几何★★★☆☆
从原点向圆 x2+y2−12y+27=0x^2+y^2-12y+27=0 作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为（\quad）
A.
π\pi
B.
2π2\pi
C.
4π4\pi
D.
6π6\pi

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05三角函数★★☆☆☆
对任意的锐角 α\alpha，β\beta，下列不等关系中正确的是（\quad）
A.
sin⁡(α+β)>sin⁡α+sin⁡β\sin(\alpha+\beta)>\sin\alpha+\sin\beta
B.
sin⁡(α+β)>cos⁡α+cos⁡β\sin(\alpha+\beta)>\cos\alpha+\cos\beta
C.
cos⁡(α+β)<sin⁡α+sin⁡β\cos(\alpha+\beta)<\sin\alpha+\sin\beta
D.
cos⁡(α+β)<cos⁡α+cos⁡β\cos(\alpha+\beta)<\cos\alpha+\cos\beta

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06立体几何初步★★★☆☆
在正四面体 P−ABCP-ABC 中，DD，EE，FF 分别是 ABAB，BCBC，CACA 的中点，下面四个结论中不成立的是（\quad）
A.
BC∥BC\parallel 平面 PDFPDF
B.
DF⊥DF\perp 平面 PAEPAE
C.
平面 PDF⊥PDF\perp 平面 ABCABC
D.
平面 PAE⊥PAE\perp 平面 ABCABC

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07计数原理与组合数学★★★☆☆
北京《财富》全球论坛期间，某高校有 1414 名志愿者参加接待工作，若每天早，中，晚三班，每班 44 人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为（\quad）
A.
C1412C124C84\mathrm C_{14}^{12}\mathrm C_{12}^{4}\mathrm C_{8}^{4}
B.
C1412A124A84\mathrm C_{14}^{12}\mathrm A_{12}^{4}\mathrm A_{8}^{4}
C.
C1412C124C84A33\dfrac{\mathrm C_{14}^{12}\mathrm C_{12}^{4}\mathrm C_{8}^{4}}{\mathrm A_{3}^{3}}
D.
C1412C124C84A33\mathrm C_{14}^{12}\mathrm C_{12}^{4}\mathrm C_{8}^{4}\mathrm A_{3}^{3}

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08三角函数★★★☆☆
函数 f(x)=1−cos⁡2xcos⁡xf(x)=\dfrac{\sqrt{1-\cos2x}}{\cos x}（\quad）
A.
在 [0,π2)\left[0,\frac{\pi}{2}\right)，(π2,π]\left(\frac{\pi}{2},\pi\right] 上递增，在 [π,3π2)\left[\pi,\frac{3\pi}{2}\right)，(3π2,2π]\left(\frac{3\pi}{2},2\pi\right] 上递减
B.
在 [0,π2)\left[0,\frac{\pi}{2}\right)，(π,3π2]\left(\pi,\frac{3\pi}{2}\right] 上递增，在 [π2,π)\left[\frac{\pi}{2},\pi\right)，(3π2,2π]\left(\frac{3\pi}{2},2\pi\right] 上递减
C.
在 (π2,π]\left(\frac{\pi}{2},\pi\right]，(3π2,2π]\left(\frac{3\pi}{2},2\pi\right] 上递增，在 [0,π2)\left[0,\frac{\pi}{2}\right)，(π,3π2]\left(\pi,\frac{3\pi}{2}\right] 上递减
D.
在 [0,3π2)\left[0,\frac{3\pi}{2}\right)，(3π2,π]\left(\frac{3\pi}{2},\pi\right] 上递增，在 [0,π2)\left[0,\frac{\pi}{2}\right)，(π2,2π]\left(\frac{\pi}{2},2\pi\right] 上递减

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09复数★★☆☆☆
若 z1=a+2iz_1=a+2\mathrm{i}，z2=3−4iz_2=3-4\mathrm{i}，且 z1z2\frac{z_1}{z_2} 为纯虚数，则实数 aa 的值为______.

2005 · 北京 · 秋季 · 理 · 第 9 题 · 填空题

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10三角函数★★☆☆☆
已知 tan⁡α2=2\tan\frac{\alpha}{2}=2，则 tan⁡α\tan\alpha 的值为______，tan⁡(α+π4)\tan\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right) 的值为______.

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11计数原理与组合数学★★☆☆☆
(x−1x)6\left(x-\dfrac{1}{x}\right)^6 的展开式中的常数项是______.（用数字作答）

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12导数及其应用★★☆☆☆
过原点作曲线 y=exy=\mathrm{e}^x 的切线，则切点的坐标为______，切线的斜率为______.

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13指数函数与对数函数★★★☆☆
对于函数 f(x)f(x) 定义域中任意的 x1x_1，x2x_2（x1≠x2x_1\neq x_2），有如下结论：
① f(x1+x2)=f(x1)⋅f(x2)f(x_1+x_2)=f(x_1)\cdot f(x_2)； ② f(x1⋅x2)=f(x1)+f(x2)f(x_1\cdot x_2)=f(x_1)+f(x_2)； ③ f(x1)−f(x2)x1−x2>0\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}>0； ④ f(x1+x22)<f(x1)+f(x2)2f\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}\right)<\dfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2}.
当 f(x)=lg⁡xf(x)=\lg x 时，上述结论中正确结论的序号是______.

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14计数原理与组合数学★★★☆☆
已知 nn 次多项式 Pn(x)=a0xn+a1xn−1+⋯+an−1x+anP_n(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n. 如果在一种算法中，计算 x0kx_0^k（k=2k=2，33，44，⋯\cdots，nn）的值需要 k−1k-1 次乘法，计算 P3(x0)P_3(x_0) 的值共需要 99 次运算（66 次乘法，33 次加法），那么计算 P10(x0)P_{10}(x_0) 的值共需要______ 次运算.
下面给出一种减少运算次数的算法：P0(x)=a0P_0(x)=a_0，Pk+1(x)=xPk(x)+ak+1P_{k+1}(x)=xP_k(x)+a_{k+1}（k=0k=0，11，22，⋯\cdots，n−1n-1）. 利用该算法，计算 P3(x0)P_3(x_0) 的值共需要 66 次运算，计算 P10(x0)P_{10}(x_0) 的值共需要______ 次运算.

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15导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=−x3+3x2+9x+af(x)=-x^3+3x^2+9x+a.
(1) 求 f(x)f(x) 的单调减区间； (2) 若 f(x)f(x) 在区间 [−2,2][-2,2] 上的最大值为 2020，求它在该区间上的最小值.

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16立体几何初步★★★★☆
如图，在直四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，AB=AD=2AB=AD=2，DC=23DC=2\sqrt{3}，AA1=3AA_1=\sqrt{3}，AD⊥DCAD\perp DC，AC⊥BDAC\perp BD，垂足为 EE.
(1) 求证：BD⊥A1CBD\perp A_1C； (2) 求二面角 A1−BD−C1A_1-BD-C_1 的大小； (3) 求异面直线 ADAD 与 BC1BC_1 所成角的大小.

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17概率与统计★★★☆☆
甲，乙两人各进行 33 次射击，甲每次击中目标的概率为 12\frac{1}{2}，乙每次击中目标的概率为 23\frac{2}{3}.
(1) 记甲击中目标的次数为 ξ\xi，求 ξ\xi 的概率分布及数学期望 E(ξ)E(\xi)； (2) 求乙至多击中目标 22 次的概率； (3) 求甲恰好比乙多击中目标 22 次的概率.

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18解析几何★★★★☆
如图，直线 l1:y=kxl_1:y=kx（k>0k>0）与直线 l2:y=−kxl_2:y=-kx 之间的阴影区域（不含边界）记为 WW，其左半部分记为 W1W_1，右半部分记为 W2W_2.
(1) 分别用不等式组表示 W1W_1 和 W2W_2； (2) 若区域 WW 中的动点 P(x,y)P(x,y) 到 l1l_1，l2l_2 的距离之积等于 d2d^2，求点 PP 的轨迹 CC 的方程； (3) 设不过原点 OO 的直线 ll 与（2）中的曲线 CC 相交于 M1M_1，M2M_2 两点，且与 l1l_1，l2l_2 分别交于 M3M_3，M4M_4 两点. 求证：△OM1M2\triangle OM_1M_2 的重心与 △OM3M4\triangle OM_3M_4 的重心重合.

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19数列★★★☆☆
设数列 {an}\{a_n\} 的首项 a1=a≠14a_1=a\neq\frac{1}{4}，且
an+1={12an,n 为偶数,an+14,n 为奇数.a_{n+1}= \begin{cases} \dfrac{1}{2}a_n, & n\text{ 为偶数},\\ a_n+\dfrac{1}{4}, & n\text{ 为奇数}. \end{cases}
记 bn=a2n−1−14b_n=a_{2n-1}-\dfrac{1}{4}，n=1n=1，22，33，⋯\cdots.
(1) 求 a2a_2，a3a_3； (2) 判断数列 {bn}\{b_n\} 是否为等比数列，并证明你的结论； (3) 求 lim⁡n→∞(b1+b2+⋯+bn)\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(b_1+b_2+\cdots+b_n\right).

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20函数与初等函数★★★★★
设 f(x)f(x) 是定义在 [0,1][0,1] 上的函数，若存在 x∗∈(0,1)x^{*}\in(0,1)，使得 f(x)f(x) 在 [0,x∗][0,x^{*}] 上单调递增，在 [x∗,1][x^{*},1] 上单调递减，则称 f(x)f(x) 为 [0,1][0,1] 上的单峰函数，x∗x^{*} 为峰点，包含峰点的区间为含峰区间. 对任意的 [0,1][0,1] 上的单峰函数 f(x)f(x)，下面研究缩短其含峰区间长度的方法.
(1) 证明：对任意的 x1x_1，x2∈(0,1)x_2\in(0,1)，x1<x2x_1<x_2，f(x1)⩾f(x2)f(x_1)\geqslant f(x_2)，则 (0,x2)\left(0,x_2\right) 为含峰区间；若 f(x1)⩽f(x2)f(x_1)\leqslant f(x_2)，则 (x1,1)\left(x_1,1\right) 为含峰区间； (2) 对给定的 rr（0<r<0.50<r<0.5），证明：存在 x1x_1，x2∈(0,1)x_2\in(0,1)，满足 x2−x1⩾2rx_2-x_1\geqslant2r，使得由（1）所确定的含峰区间的长度不大于 0.5+r0.5+r； (3) 选取 x1x_1，x2∈(0,1)x_2\in(0,1)，x1<x2x_1<x_2，由（1）可确定含峰区间为 (0,x2)\left(0,x_2\right) 或 (x1,1)\left(x_1,1\right)，在所得的含峰区间内选取 x3x_3，由 x3x_3 与 x1x_1 或 x3x_3 与 x2x_2 类似地可确定一个新的含峰区间，在第一次确定的含峰区间为 (0,x2)\left(0,x_2\right) 的情况下，试确定 x1x_1，x2x_2，x3x_3 的值，满足两两之差的绝对值不小于 0.020.02，且使得新的含峰区间的长度缩短到 0.340.34.
注：区间长度等于区间的右端点与左端点之差.

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