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07立体几何初步★★★☆☆
在梯形 ABCDABCD 中，∠ABC=π2\angle ABC = \frac{\pi}{2}，AD∥BCAD \parallel BC，BC=2AD=2AB=2BC = 2AD = 2AB = 2. 将梯形 ABCDABCD 绕 ADAD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）
A.
2π3\frac{2\pi}{3}
B.
4π3\frac{4\pi}{3}
C.
5π3\frac{5\pi}{3}
D.
2π2\pi

2015 · 山东 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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09解析几何★★★☆☆
一条光线从点 (−2,−3)(-2,-3) 射出，经 yy 轴反射后与圆 (x+3)2+(y−2)2=1(x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 1 相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
A.
−53-\frac{5}{3} 或 −35-\frac{3}{5}
B.
−35-\frac{3}{5} 或 −23-\frac{2}{3}
C.
−54-\frac{5}{4} 或 −45-\frac{4}{5}
D.
−43-\frac{4}{3} 或 −34-\frac{3}{4}

2015 · 山东 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10函数与初等函数★★★☆☆
设函数
f(x)={3x−1,x<1,2x,x⩾1,f(x) = \begin{cases} 3x - 1, & x < 1,\\ 2^x, & x \geqslant 1, \end{cases}
则满足 f[f(a)]=2f(a)f[f(a)] = 2^{f(a)} 的 aa 取值范围是（ ）
A.
[23,1]\left[\frac{2}{3},1\right]
B.
[0,1][0,1]
C.
[23,+∞)\left[\frac{2}{3},+\infty\right)
D.
[1,+∞)[1,+\infty)

2015 · 山东 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11计数原理与组合数学★★★☆☆
观察下列各式：C10=40\mathrm C_1^0 = 4^0；C30+C31=41\mathrm C_3^0 + \mathrm C_3^1 = 4^1；C50+C51+C52=42\mathrm C_5^0 + \mathrm C_5^1 + \mathrm C_5^2 = 4^2；C70+C71+C72+C73=43\mathrm C_7^0 + \mathrm C_7^1 + \mathrm C_7^2 + \mathrm C_7^3 = 4^3；⋯\cdots. 照此规律，当 n∈N∗n \in \mathbf{N}^* 时，C2n−10+C2n−11+C2n−12+⋯+C2n−1n−1=\mathrm C_{2n-1}^0 + \mathrm C_{2n-1}^1 + \mathrm C_{2n-1}^2 + \cdots + \mathrm C_{2n-1}^{n-1} =______.

2015 · 山东 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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16三角函数★★★☆☆
设 f(x)=sin⁡xcos⁡x−cos⁡2(x+π4)f(x) = \sin x \cos x - \cos^2\left(x + \frac{\pi}{4}\right).
(1) 求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 在锐角 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc. 若 f(A2)=0f\left(\frac{A}{2}\right) = 0，a=1a = 1，求 △ABC\triangle ABC 面积的最大值.

2015 · 山东 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，在三棱台 DEF−ABCDEF - ABC 中，AB=2DEAB = 2DE，GG，HH 分别为 ACAC，BCBC 的中点.
(1) 求证：BD∥BD \parallel 平面 FGHFGH； (2) 若 CF⊥CF \perp 平面 ABCABC，AB⊥BCAB \perp BC，CF=DECF = DE，∠BAC=45∘\angle BAC = 45^{\circ}，求平面 FGHFGH 与平面 ACFDACFD 所成的角（锐角）的大小.

2015 · 山东 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18数列★★★☆☆
设数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n. 已知 2Sn=3n+32S_n = 3^n + 3.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 若数列 {bn}\{b_n\} 满足 anbn=log⁡3ana_n b_n = \log_3 a_n，求 {bn}\{b_n\} 的前 nn 项和 TnT_n.

2015 · 山东 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19概率与统计★★★☆☆
设 nn 是一个三位正整数，且 nn 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称 nn 为“三位递增数”（如 137137，359359，567567 等）. 在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取 11 个数，且只能抽取一次. 得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被 55 整除，参加者得 00 分；若能被 55 整除，但不能被 1010 整除，得 −1-1 分；若能被 1010 整除，得 11 分.
(1) 写出所有个位数字是 55 的“三位递增数”； (2) 若甲参加活动，求甲得分 XX 的分布列和数学期望 E(X)E(X).

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