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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知集合 A={x∣x2−4x+3<0}A = \{x \mid x^2 - 4x + 3 < 0\}，B={x∣2<x<4}B = \{x \mid 2 < x < 4\}，则 A∩B=A \cap B =（ ）
A.
(1,3)(1,3)
B.
(1,4)(1,4)
C.
(2,3)(2,3)
D.
(2,4)(2,4)

2015 · 山东 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02复数★☆☆☆☆
若复数 zz 满足 zˉ1−i=i\frac{\bar z}{1 - \mathrm{i}} = \mathrm{i}，其中 i\mathrm{i} 为虚数单位，则 z=z =（ ）
A.
1−i1 - \mathrm{i}
B.
1+i1 + \mathrm{i}
C.
−1−i-1 - \mathrm{i}
D.
−1+i-1 + \mathrm{i}

2015 · 山东 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03三角函数★★☆☆☆
要得到函数 y=sin⁡(4x−π3)y = \sin\left(4x - \frac{\pi}{3}\right) 的图象，只需要将函数 y=sin⁡4xy = \sin 4x 的图象（ ）
A.
向左平移 π12\frac{\pi}{12} 个单位
B.
向右平移 π12\frac{\pi}{12} 个单位
C.
向左平移 π3\frac{\pi}{3} 个单位
D.
向右平移 π3\frac{\pi}{3} 个单位

2015 · 山东 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04平面向量★★☆☆☆
已知菱形 ABCDABCD 的边长为 aa，∠ABC=60∘\angle ABC = 60^{\circ}，则 BD→⋅CD→=\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{CD} =（ ）
A.
−32a2-\frac{3}{2}a^2
B.
−34a2-\frac{3}{4}a^2
C.
34a2\frac{3}{4}a^2
D.
32a2\frac{3}{2}a^2

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05不等式★★☆☆☆
不等式 ∣x−1∣−∣x−5∣<2|x - 1| - |x - 5| < 2 的解集是（ ）
A.
(−∞,4)(-\infty,4)
B.
(−∞,1)(-\infty,1)
C.
(1,4)(1,4)
D.
(1,5)(1,5)

2015 · 山东 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06不等式★★☆☆☆
已知 xx，yy 满足约束条件
{x−y⩾0,x+y⩽2,y⩾0,\begin{cases} x - y \geqslant 0,\\ x + y \leqslant 2,\\ y \geqslant 0, \end{cases}
若 z=ax+yz = ax + y 的最大值为 44，则 a=a =（ ）
A.
33
B.
22
C.
−2-2
D.
−3-3

2015 · 山东 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07立体几何初步★★★☆☆
在梯形 ABCDABCD 中，∠ABC=π2\angle ABC = \frac{\pi}{2}，AD∥BCAD \parallel BC，BC=2AD=2AB=2BC = 2AD = 2AB = 2. 将梯形 ABCDABCD 绕 ADAD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）
A.
2π3\frac{2\pi}{3}
B.
4π3\frac{4\pi}{3}
C.
5π3\frac{5\pi}{3}
D.
2π2\pi

2015 · 山东 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08概率与统计★★☆☆☆
已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布 N(0,32)N(0,3^2)，从中随机取一件，其长度误差落在区间 (3,6)(3,6) 内的概率为（ ）（附：若随机变量 ξ\xi 服从正态分布 N(μ,σ2)N(\mu,\sigma^2)，则 P(μ−σ<ξ<μ+σ)=68.26%P(\mu - \sigma < \xi < \mu + \sigma) = 68.26\%，P(μ−2σ<ξ<μ+2σ)=95.44%P(\mu - 2\sigma < \xi < \mu + 2\sigma) = 95.44\%）.
A.
4.56%4.56\%
B.
13.59%13.59\%
C.
27.18%27.18\%
D.
31.74%31.74\%

2015 · 山东 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09解析几何★★★☆☆
一条光线从点 (−2,−3)(-2,-3) 射出，经 yy 轴反射后与圆 (x+3)2+(y−2)2=1(x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 1 相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
A.
−53-\frac{5}{3} 或 −35-\frac{3}{5}
B.
−35-\frac{3}{5} 或 −23-\frac{2}{3}
C.
−54-\frac{5}{4} 或 −45-\frac{4}{5}
D.
−43-\frac{4}{3} 或 −34-\frac{3}{4}

2015 · 山东 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10函数与初等函数★★★☆☆
设函数
f(x)={3x−1,x<1,2x,x⩾1,f(x) = \begin{cases} 3x - 1, & x < 1,\\ 2^x, & x \geqslant 1, \end{cases}
则满足 f[f(a)]=2f(a)f[f(a)] = 2^{f(a)} 的 aa 取值范围是（ ）
A.
[23,1]\left[\frac{2}{3},1\right]
B.
[0,1][0,1]
C.
[23,+∞)\left[\frac{2}{3},+\infty\right)
D.
[1,+∞)[1,+\infty)

2015 · 山东 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11计数原理与组合数学★★★☆☆
观察下列各式：C10=40\mathrm C_1^0 = 4^0；C30+C31=41\mathrm C_3^0 + \mathrm C_3^1 = 4^1；C50+C51+C52=42\mathrm C_5^0 + \mathrm C_5^1 + \mathrm C_5^2 = 4^2；C70+C71+C72+C73=43\mathrm C_7^0 + \mathrm C_7^1 + \mathrm C_7^2 + \mathrm C_7^3 = 4^3；⋯\cdots. 照此规律，当 n∈N∗n \in \mathbf{N}^* 时，C2n−10+C2n−11+C2n−12+⋯+C2n−1n−1=\mathrm C_{2n-1}^0 + \mathrm C_{2n-1}^1 + \mathrm C_{2n-1}^2 + \cdots + \mathrm C_{2n-1}^{n-1} =______.

2015 · 山东 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12集合与逻辑基础★★☆☆☆
若“∀x∈[0,π4]\forall x \in \left[0,\frac{\pi}{4}\right]，tan⁡x⩽m\tan x \leqslant m”是真命题，则实数 mm 的最小值为______.

2015 · 山东 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13导数及其应用★★☆☆☆
执行如图所示的程序框图，输出的 TT 的值为______.

2015 · 山东 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14指数函数与对数函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)=ax+bf(x) = a^x + b（a>0a > 0，a≠1a \neq 1）的定义域和值域都是 [−1,0][-1,0]，则 a+b=a + b =______.

2015 · 山东 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15解析几何★★★★☆
平面直角坐标系 xOyxOy 中，双曲线 C1:x2a2−y2b2=1C_1: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1（a>0a > 0，b>0b > 0）的渐近线与抛物线 C2:x2=2pyC_2: x^2 = 2py（p>0p > 0）交于 OO，AA，BB. 若 △OAB\triangle OAB 的垂心为 C2C_2 的焦点，则 C1C_1 的离心率为______.

2015 · 山东 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16三角函数★★★☆☆
设 f(x)=sin⁡xcos⁡x−cos⁡2(x+π4)f(x) = \sin x \cos x - \cos^2\left(x + \frac{\pi}{4}\right).
(1) 求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 在锐角 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc. 若 f(A2)=0f\left(\frac{A}{2}\right) = 0，a=1a = 1，求 △ABC\triangle ABC 面积的最大值.

2015 · 山东 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，在三棱台 DEF−ABCDEF - ABC 中，AB=2DEAB = 2DE，GG，HH 分别为 ACAC，BCBC 的中点.
(1) 求证：BD∥BD \parallel 平面 FGHFGH； (2) 若 CF⊥CF \perp 平面 ABCABC，AB⊥BCAB \perp BC，CF=DECF = DE，∠BAC=45∘\angle BAC = 45^{\circ}，求平面 FGHFGH 与平面 ACFDACFD 所成的角（锐角）的大小.

2015 · 山东 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18数列★★★☆☆
设数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n. 已知 2Sn=3n+32S_n = 3^n + 3.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 若数列 {bn}\{b_n\} 满足 anbn=log⁡3ana_n b_n = \log_3 a_n，求 {bn}\{b_n\} 的前 nn 项和 TnT_n.

2015 · 山东 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19概率与统计★★★☆☆
设 nn 是一个三位正整数，且 nn 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称 nn 为“三位递增数”（如 137137，359359，567567 等）. 在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取 11 个数，且只能抽取一次. 得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被 55 整除，参加者得 00 分；若能被 55 整除，但不能被 1010 整除，得 −1-1 分；若能被 1010 整除，得 11 分.
(1) 写出所有个位数字是 55 的“三位递增数”； (2) 若甲参加活动，求甲得分 XX 的分布列和数学期望 E(X)E(X).

2015 · 山东 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的离心率为 32\frac{\sqrt{3}}{2}. 左、右焦点分别是 F1F_1，F2F_2. 以 F1F_1 为圆心、以 33 为半径的圆与以 F2F_2 为圆心、以 11 为半径的圆相交，且交点在椭圆 CC 上.
(1) 求椭圆 CC 的方程； (2) 设椭圆 E:x24a2+y24b2=1E: \frac{x^2}{4a^2} + \frac{y^2}{4b^2} = 1，PP 为椭圆 CC 上任意一点，过点 PP 的直线 y=kx+my = kx + m 交椭圆 EE 于 AA，BB 两点，射线 POPO 交椭圆 EE 于点 QQ.
(i) 求 ∣OQ∣∣OP∣\frac{|OQ|}{|OP|} 的值； (ii) 求 △ABQ\triangle ABQ 面积的最大值.

2015 · 山东 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=ln⁡(x+1)+a(x2−x)f(x) = \ln(x + 1) + a(x^2 - x)，其中 a∈Ra \in \mathbf{R}.
(1) 讨论函数 f(x)f(x) 极值点的个数，并说明理由； (2) 若 ∀x>0\forall x > 0，f(x)⩾0f(x) \geqslant 0 成立，求 aa 的取值范围.

2015 · 山东 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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