已知定义在 $\mathbf{R}$ 上的奇函数 $f(x)$ 满足 $f(x - 4) = -f(x)$. 且在区间 $[0,2]$ 上是增函数，则（ ）

某公司租赁甲，乙两种设备生产 $A$，$B$ 两类产品，甲种设备每天能生产 $A$ 类产品 $5$ 件和 $B$ 类产品 $10$ 件，乙种设备每天能生产 $A$ 类产品 $6$ 件和 $B$ 类产品 $20$ 件. 已知设备甲每天的租赁费为 $200$ 元，设备乙每天的租赁费为 $300$ 元. 现该公司至少要生产 $A$ 类产品 $50$ 件，$B$ 类产品 $140$ 件，所需租赁费最少为______元.

已知函数 $f(x) = 2\sin x\cos^2\frac{\varphi}{2} + \cos x\sin \varphi - \sin x$（$0 < \varphi < \pi$）在 $x = \pi$ 处取最小值.

(1) 求 $\varphi$ 的值. (2) 在 $\triangle ABC$ 中，$a$，$b$，$c$ 分别是角 $A$，$B$，$C$ 的对边. 已知 $a = 1$，$b = \sqrt{2}$，$f(A) = \frac{\sqrt{3}}{2}$，求角 $C$.

如图，在直四棱柱 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，底面 $ABCD$ 为等腰梯形，$AB \parallel CD$，$AB = 4$，$BC = CD = 2$，$AA_{1} = 2$，$E$，$E_{1}$ 分别是棱 $AD$，$AA_{1}$ 的中点.

(1) 设 $F$ 是棱 $AB$ 的中点，证明：直线 $EE_{1} \parallel$ 平面 $FCC_{1}$； (2) 证明：平面 $D_{1}AC \perp$ 平面 $BB_{1}C_{1}C$.

一汽车厂生产 $A$，$B$，$C$ 三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：辆）：

按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 $50$ 辆，其中有 A 类轿车 $10$ 辆.

(1) 求 $z$ 的值. (2) 用分层抽样的方法在 C 类轿车中抽取一个容量为 $5$ 的样本. 将该样本看成一个总体，从中任取 $2$ 辆，求至少有 $1$ 辆舒适型轿车的概率. (3) 用随机抽样的方法从 B 类舒适型轿车中抽取 $8$ 辆，经检测它们的得分如下：$9.4$，$8.6$，$9.2$，$9.6$，$8.7$，$9.3$，$9.0$，$8.2$. 把这 $8$ 辆轿车的得分看作一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过 $0.5$ 的概率.

等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$. 已知对任意的 $n \in \mathbf{N}^{*}$，点 $(n, S_{n})$ 均在函数 $y = b^{x} + r$（$b > 0$ 且 $b \neq 1$，$b$，$r$ 均为常数）的图象上.

(1) 求 $r$ 的值. (2) 当 $b = 2$ 时，记 $b_{n} = \frac{n + 1}{4a_{n}}$（$n \in \mathbf{N}^{*}$），求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$.