在棱柱 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，底面 $ABCD$ 为平行四边形，$\left|AA_1\right|=3$，$\left|BD\right|=4$，$\overrightarrow{AB_1}\cdot\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AD_1}\cdot\overrightarrow{DC}=5$，设异面直线 $AA_1$ 与 $BD$ 的夹角为 $\theta$，则 $\cos\theta=$______ .

已知 $f(x)=\sin\left(\omega x+\frac{\pi}{3}\right)$，$\omega>0$.

(1) 设 $\omega=1$，求 $y=f(x)$，$x\in[0,\pi]$ 的值域； (2) $a>\pi$（$a\in\mathbf{R}$），$f(x)$ 的最小正周期为 $\pi$，若在 $x\in[\pi,a]$ 上恰有 $3$ 个零点，求 $a$ 的取值范围.

如图，$PA$，$PB$，$PC$ 为圆锥三条母线，$AB=AC$.

(1) 证明：$PA\perp BC$； (2) 若圆锥侧面积为 $\sqrt3\pi$，$BC$ 为底面直径，$BC=2$，求二面角 $B-PA-C$ 的大小.

水果分为一级果和二级果，共 $136$ 箱，其中一级果 $102$ 箱，二级果 $34$ 箱.

(1) 随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率； (2) 进行分层抽样，共抽 $8$ 箱水果，求一级果和二级果各几箱； (3) 抽取若干箱水果，其中一级果共 $120$ 个，单果质量平均数为 $303.45$ 克，方差为 $603.46$；二级果 $48$ 个，单果质量平均数为 $240.41$ 克，方差为 $648.21$；求 $168$ 个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质量.