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01函数与初等函数★☆☆☆☆
函数 y=log⁡2xy=\log_2 x 的定义域为______ .

2024 · 上海 · 春季 · 第 1 题 · 填空题

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02解析几何★☆☆☆☆
直线 x−y+1=0x-y+1=0 的倾斜角为______ .

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03复数★☆☆☆☆
已知 z1+i=i\frac{z}{1+\mathrm{i}}=i，则 zz 的共轭复数为______ .

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04计数原理与组合数学★☆☆☆☆
(x−1)6\left(x-1\right)^6 展开式中 x4x^4 的系数为______ .

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05三角函数★★☆☆☆
三角形 ABCABC 中，BC=2BC=2，A=π3A=\frac{\pi}{3}，B=π4B=\frac{\pi}{4}，则 AB=AB=______ .

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06不等式★★☆☆☆
已知 ab=1ab=1，4a2+9b24a^2+9b^2 的最小值为______ .

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07数列★★☆☆☆
数列 {an}\{a_n\}，an=n+ca_n=n+c，S7<0S_7<0，cc 的取值范围为______ .

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08解析几何★★☆☆☆
三角形三边长为 55，66，77，则以边长为 66 的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为______ .

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09函数与初等函数★★☆☆☆
已知 f(x)=x2f(x)=x^2，
g(x)={f(x),x≥0,−f(−x),x<0,g(x)=\displaystyle\begin{cases} f(x), & x\ge 0,\\ -f(-x), & x<0, \end{cases}
求 g(x)≤2−xg(x)\le 2-x 的 xx 的取值范围______ .

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10平面向量★★★☆☆
在棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，底面 ABCDABCD 为平行四边形，∣AA1∣=3\left|AA_1\right|=3，∣BD∣=4\left|BD\right|=4，AB1→⋅BC→−AD1→⋅DC→=5\overrightarrow{AB_1}\cdot\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AD_1}\cdot\overrightarrow{DC}=5，设异面直线 AA1AA_1 与 BDBD 的夹角为 θ\theta，则 cos⁡θ=\cos\theta=______ .

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11解析几何★★★★☆
正方形草地 ABCDABCD 边长 1.21.2，EE 到 ABAB，ADAD 距离为 0.20.2，FF 到 BCBC，CDCD 距离为 0.40.4，有个位于正方形草地 ABCDABCD 内的圆形通道经过 EE，FF，且与 ADAD 相切于 ADAD 边上一点，求圆形通道的周长______ .（精确到 0.010.01）

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12集合与逻辑基础★★★★☆
a1=2a_1=2，a2=4a_2=4，a3=8a_3=8，a4=16a_4=16，任意 b1b_1，b2b_2，b3b_3，b4∈Rb_4\in \mathbf{R}，满足 {ai+aj∣1≤i<j≤4}={bi+bj∣1≤i<j≤4}\{a_i+a_j\mid 1\le i<j\le 4\}=\{b_i+b_j\mid 1\le i<j\le 4\}，求有序数列 {b1,b2,b3,b4}\{b_1,b_2,b_3,b_4\} 有______ 对.

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13不等式★☆☆☆☆
已知 aa，bb，c∈Rc\in \mathbf{R}，b>cb>c，下列不等式恒成立的是（ ）.
A.
a+b2>a+c2a+b^2>a+c^2
B.
a2−c>a2−ba^2-c>a^2-b
C.
ab2>ac2ab^2>ac^2
D.
a2b>a2ca^2b>a^2c

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14立体几何初步★★☆☆☆
空间中有两个不同的平面 α\alpha，β\beta 和两条不同的直线 mm，nn，则下列说法中正确的是（ ）.
A.
若 α⊥β\alpha\perp\beta，m⊥αm\perp\alpha，m⊥nm\perp n，则 n⊥βn\perp\beta
B.
若 α⊥β\alpha\perp\beta，m⊥αm\perp\alpha，n⊥βn\perp\beta，则 m⊥nm\perp n
C.
若 α∥β\alpha\parallel\beta，m∥αm\parallel\alpha，n∥βn\parallel\beta，则 m∥nm\parallel n
D.
若 α∥β\alpha\parallel\beta，m∥αm\parallel\alpha，m∥nm\parallel n，则 n∥βn\parallel\beta

2024 · 上海 · 春季 · 第 14 题 · 选择题

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15概率与统计★★☆☆☆
有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结，记事本，笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件 AA：所选盒中有中国结，事件 BB：所选盒中有记事本，事件 CC：所选盒中有笔袋，则（ ）.
A.
事件 AA 与事件 BB 互斥
B.
事件 AA 与事件 BB 相互独立
C.
事件 AA 与事件 B∪CB\cup C 互斥
D.
事件 AA 与事件 B∩CB\cap C 相互独立

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16导数及其应用★★★★☆
现定义如下：当 x∈(n,n+1)x\in(n,n+1) 时（n∈Nn\in \mathbf{N}），若 f(x+1)=f′(x)f(x+1)=f'(x)，则称 f(x)f(x) 为延展函数. 已知当 x∈(0,1)x\in(0,1) 时，g(x)=exg(x)=\mathrm{e}^x，且 h(x)=x10h(x)=x^{10}，且 g(x)g(x)，h(x)h(x) 均为延展函数，则以下结论（ ）.
① 存在 y=kx+by=kx+b（kk，b∈Rb\in\mathbf{R}，kk，b≠0b\ne 0）与 y=g(x)y=g(x) 有无穷多个交点； ② 存在 y=kx+by=kx+b（kk，b∈Rb\in\mathbf{R}，kk，b≠0b\ne 0）与 y=h(x)y=h(x) 有无穷多个交点.
A.
（1）（2）都成立
B.
（1）（2）都不成立
C.
（1）成立（2）不成立
D.
（1）不成立（2）成立

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17三角函数★★★☆☆
已知 f(x)=sin⁡(ωx+π3)f(x)=\sin\left(\omega x+\frac{\pi}{3}\right)，ω>0\omega>0.
(1) 设 ω=1\omega=1，求 y=f(x)y=f(x)，x∈[0,π]x\in[0,\pi] 的值域； (2) a>πa>\pi（a∈Ra\in\mathbf{R}），f(x)f(x) 的最小正周期为 π\pi，若在 x∈[π,a]x\in[\pi,a] 上恰有 33 个零点，求 aa 的取值范围.

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，PAPA，PBPB，PCPC 为圆锥三条母线，AB=ACAB=AC.
(1) 证明：PA⊥BCPA\perp BC； (2) 若圆锥侧面积为 3π\sqrt3\pi，BCBC 为底面直径，BC=2BC=2，求二面角 B−PA−CB-PA-C 的大小.

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19概率与统计★★★☆☆
水果分为一级果和二级果，共 136136 箱，其中一级果 102102 箱，二级果 3434 箱.
(1) 随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率； (2) 进行分层抽样，共抽 88 箱水果，求一级果和二级果各几箱； (3) 抽取若干箱水果，其中一级果共 120120 个，单果质量平均数为 303.45303.45 克，方差为 603.46603.46；二级果 4848 个，单果质量平均数为 240.41240.41 克，方差为 648.21648.21；求 168168 个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质量.

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20解析几何★★★★★
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知点 AA 为椭圆 Γ:x26+y22=1\Gamma:\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1 上一点，F1F_1，F2F_2 分别为椭圆的左，右焦点.
(1) 若点 AA 的横坐标为 22，求 ∣AF1∣\left|AF_1\right| 的长； (2) 设 Γ\Gamma 的上，下顶点分别为 M1M_1，M2M_2，记 △AF1F2\triangle AF_1F_2 的面积为 S1S_1，△AM1M2\triangle AM_1M_2 的面积为 S2S_2，若 S1≥S2S_1\ge S_2，求 ∣OA∣\left|OA\right| 的取值范围； (3) 若点 AA 在 xx 轴上方，设直线 AF2AF_2 与 Γ\Gamma 交于点 BB，与 yy 轴交于点 KK，KF1KF_1 延长线与 Γ\Gamma 交于点 CC，是否存在 xx 轴上方的点 CC，使得 F1A→+F1B→+F1C→=λ(F2A→+F2B→+F2C→)\overrightarrow{F_1A}+\overrightarrow{F_1B}+\overrightarrow{F_1C} =\lambda\left(\overrightarrow{F_2A}+\overrightarrow{F_2B}+\overrightarrow{F_2C}\right)（λ∈R\lambda\in\mathbf{R}） 成立？若存在，请求出点 CC 的坐标；若不存在，请说明理由.

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21函数与初等函数★★★★★
记 M(a)={t∣t=f(x)−f(a),x≥a}M(a)=\{t\mid t=f(x)-f(a),x\ge a\}，L(a)={t∣t=f(x)−f(a),x≤a}L(a)=\{t\mid t=f(x)-f(a),x\le a\}.
(1) 若 f(x)=x2+1f(x)=x^2+1，求 M(1)M(1) 和 L(1)L(1)； (2) 若 f(x)=x3−3x2f(x)=x^3-3x^2，求证：对于任意 a∈Ra\in\mathbf{R}，都有 M(a)⊆[−4,+∞)M(a)\subseteq[-4,+\infty)，且存在 aa，使得 −4∈M(a)-4\in M(a). (3) 已知定义在 R\mathbf{R} 上的 f(x)f(x) 有最小值，求证“f(x)f(x) 是偶函数”的充要条件是“对于任意正实数 cc，均有 M(−c)=L(c)M(-c)=L(c)”.

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