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05解析几何★★★☆☆
已知 M(x0,y0)M(x_0, y_0) 是双曲线 C:x22−y2=1C: \frac{x^2}{2} - y^2 = 1 上的一点，F1F_1，F2F_2 是 CC 的两个焦点. 若 MF1→⋅MF2→<0\overrightarrow{MF_1} \cdot \overrightarrow{MF_2} < 0，则 y0y_0 的取值范围是（ ）
A.
(−33,33)\left(-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}\right)
B.
(−36,36)\left(-\frac{\sqrt{3}}{6},\frac{\sqrt{3}}{6}\right)
C.
(−223,223)\left(-\frac{2\sqrt{2}}{3},\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)
D.
(−233,233)\left(-\frac{2\sqrt{3}}{3},\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)

2015 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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10计数原理与组合数学★★★☆☆
(x2+x+y)5(x^{2} + x + y)^{5} 的展开式中， x5y2x^{5}y^{2} 的系数为（ ）
A.
1010
B.
2020
C.
3030
D.
6060

2015 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11立体几何初步★★★☆☆
圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为 rr）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示. 若该几何体的表面积为 16+20π16 + 20\pi，则 r=r=（ ）
A.
11
B.
22
C.
44
D.
88

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13函数与初等函数★★★☆☆
若函数 f(x)=xln⁡(x+a+x2)f(x) = x \ln \left( x + \sqrt{a + x^2} \right) 为偶函数，则 a=a =______.

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14解析几何★★★☆☆
一个圆经过椭圆 x216+y24=1\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1 的三个顶点，且圆心在 xx 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为______.

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17数列★★★☆☆
SnS_{n} 为数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和，已知 an>0a_{n} > 0，an2+2an=4Sn+3a_{n}^{2} + 2a_{n} = 4S_{n} + 3.
(1) 求 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 设 bn=1anan+1b_{n} = \frac{1}{a_{n}a_{n + 1}}，求数列 {bn}\{b_n\} 的前 nn 项和.

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，四边形 ABCDABCD 为菱形，∠ABC=120∘\angle ABC = 120^{\circ}，EE，FF 是平面 ABCDABCD 同一侧的两点，BE⊥BE \perp 平面 ABCDABCD，DF⊥DF \perp 平面 ABCDABCD，BE=2DFBE = 2DF，AE⊥ECAE \perp EC.
(1) 证明：平面 AEC⊥AEC \perp 平面 AFCAFC； (2) 求直线 AEAE 与直线 CFCF 所成角的余弦值.

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19概率与统计★★★☆☆
某公司为确定下一年度投入某产品的宣传费，需了解年宣传费 xx（单位：千元\text{千元}）对年销售量 yy（单位：t\mathrm{t}）和年利润 zz（单位：千元\text{千元}）的影响. 对近 88 年的年宣传费 xix_i 和年销售量 yiy_i（i=1i = 1，22，⋯\cdots，88）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
表中 wi=xiw_i = \sqrt{x_i}，w‾=18∑i=18wi\overline{w} = \frac{1}{8}\sum_{i=1}^{8}w_i.
(1) 根据散点图判断，y=a+bxy = a + bx 与 y=c+dxy = c + d\sqrt{x} 哪一个更适合作为年销售量 yy 关于年宣传费 xx 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） (2) 根据上一小题的判断结果及表中数据，建立 yy 关于 xx 的回归方程； (3) 已知这种产品的年利润 zz 与 xx，yy 的关系为 z=0.2y−xz = 0.2y - x. 根据上一小题的结果回答下列问题：
(i) 年宣传费 x=49x = 49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？ (ii) 年宣传费 xx 为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据 (u1,v1)(u_1,v_1)，(u2,v2)(u_2,v_2)，…\dots，(un,vn)(u_n,v_n)，其回归直线 v=α+βuv = \alpha + \beta u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 β^=∑i=1n(ui−uˉ)(vi−vˉ)∑i=1n(ui−uˉ)2\hat{\beta} = \frac{\sum_{i=1}^{n}(u_i-\bar{u})(v_i-\bar{v})}{\sum_{i=1}^{n}(u_i-\bar{u})^2}，α^=vˉ−β^uˉ\hat{\alpha} = \bar{v} - \hat{\beta}\bar{u}.

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24不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣x+1∣−2∣x−a∣f(x) = |x + 1| - 2|x - a|，a>0a > 0.
(1) 当 a=1a = 1 时，求不等式 f(x)>1f(x) > 1 的解集； (2) 若 f(x)f(x) 的图象与 xx 轴围成的三角形面积大于 66，求 aa 的取值范围.

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