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01复数★☆☆☆☆
设复数 zz 满足 1+z1−z=i\frac{1 + z}{1 - z} = \mathrm{i}，则 ∣z∣=|z| =（ ）
A.
11
B.
2\sqrt{2}
C.
3\sqrt{3}
D.
22

2015 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02三角函数★☆☆☆☆
sin⁡20∘cos⁡10∘−cos⁡160∘sin⁡10∘=\sin 20^{\circ}\cos 10^{\circ} - \cos 160^{\circ}\sin 10^{\circ} =（ ）
A.
−32-\frac{\sqrt{3}}{2}
B.
32\frac{\sqrt{3}}{2}
C.
−12-\frac{1}{2}
D.
12\frac{1}{2}

2015 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设命题 p:p: ∃n∈N\exists n \in \mathbf{N}，n2>2nn^2 > 2^n，则 ¬p\neg p 为（ ）
A.
∀n∈N,n2>2n\forall n\in \mathbf{N},n^2 >2^n
B.
∃n∈N\exists n\in \mathbf{N}，n2⩽2nn^2\leqslant 2^n
C.
∀n∈N\forall n\in \mathbf{N}，n2⩽2nn^2\leqslant 2^n
D.
∃n∈N\exists n\in \mathbf{N}，n2=2nn^2 = 2^n

2015 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04概率与统计★★☆☆☆
投篮测试中，每人投 33 次，至少投中 22 次才能通过测试. 已知某同学每次投篮投中的概率为 0.60.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）
A.
0.6480.648
B.
0.4320.432
C.
0.360.36
D.
0.3120.312

2015 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05解析几何★★★☆☆
已知 M(x0,y0)M(x_0, y_0) 是双曲线 C:x22−y2=1C: \frac{x^2}{2} - y^2 = 1 上的一点，F1F_1，F2F_2 是 CC 的两个焦点. 若 MF1→⋅MF2→<0\overrightarrow{MF_1} \cdot \overrightarrow{MF_2} < 0，则 y0y_0 的取值范围是（ ）
A.
(−33,33)\left(-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}\right)
B.
(−36,36)\left(-\frac{\sqrt{3}}{6},\frac{\sqrt{3}}{6}\right)
C.
(−223,223)\left(-\frac{2\sqrt{2}}{3},\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)
D.
(−233,233)\left(-\frac{2\sqrt{3}}{3},\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)

2015 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06立体几何初步★★☆☆☆
《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周8 尺8\text{~尺}，高5 尺5\text{~尺}. 问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8 尺8\text{~尺}，米堆的高为5 尺5\text{~尺}，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1 斛1\text{~斛}米的体积约为1.62 立方尺1.62\text{~立方尺}，圆周率约为33，估算出堆放的米约有（ ）
A.
14 斛14\text{~斛}
B.
22 斛22\text{~斛}
C.
36 斛36\text{~斛}
D.
66 斛66\text{~斛}

2015 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07平面向量★☆☆☆☆
设 DD 为 △ABC\triangle ABC 所在平面内一点，BC→=3CD→\overrightarrow{BC} = 3\overrightarrow{CD}，则（ ）
A.
AD→=−13AB→+43AC→\overrightarrow{AD} = -\frac{1}{3}\overrightarrow{AB} +\frac{4}{3}\overrightarrow{AC}
B.
AD→=13AB→−43AC→\overrightarrow{AD} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} -\frac{4}{3}\overrightarrow{AC}
C.
AD→=43AB→+13AC→\overrightarrow{AD} = \frac{4}{3}\overrightarrow{AB} +\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}
D.
AD→=43AB→−13AC→\overrightarrow{AD} = \frac{4}{3}\overrightarrow{AB} -\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}

2015 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08三角函数★★☆☆☆
函数 f(x)=cos⁡(ωx+φ)f(x) = \cos (\omega x + \varphi) 的部分图象如图所示，则 f(x)f(x) 的单调递减区间为（ ）
A.
(kπ−14,kπ+34),k∈Z\left(k\pi -\frac{1}{4},k\pi +\frac{3}{4}\right),k\in \mathbf{Z}
B.
(2kπ−14,2kπ+34)\left(2k\pi -\frac{1}{4},2k\pi +\frac{3}{4}\right)，k∈Zk\in \mathbf{Z}
C.
(k−14,k+34)\left(k - \frac{1}{4}, k + \frac{3}{4}\right)，k∈Zk \in \mathbf{Z}
D.
(2k−14,2k+34)\left(2k - \frac{1}{4}, 2k + \frac{3}{4}\right)，k∈Zk \in \mathbf{Z}

2015 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09数列★★☆☆☆
执行如图的程序框图，如果输入的 t=0.01t = 0.01，则输出的 n=n =（ ）
A.
55
B.
66
C.
77
D.
88

2015 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10计数原理与组合数学★★★☆☆
(x2+x+y)5(x^{2} + x + y)^{5} 的展开式中， x5y2x^{5}y^{2} 的系数为（ ）
A.
1010
B.
2020
C.
3030
D.
6060

2015 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11立体几何初步★★★☆☆
圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为 rr）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示. 若该几何体的表面积为 16+20π16 + 20\pi，则 r=r=（ ）
A.
11
B.
22
C.
44
D.
88

2015 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=ex(2x−1)−ax+af(x) = \mathrm{e}^{x}(2x - 1) - ax + a，其中 a<1a < 1，若存在唯一的整数 x0x_0 使得 f(x0)<0f(x_0) < 0，则 aa 的取值范围是（ ）
A.
[−32e,1)\left[-\frac{3}{2\mathrm{e}},1\right)
B.
[−32e,34)\left[-\frac{3}{2\mathrm{e}},\frac{3}{4}\right)
C.
[32e,34)\left[\frac{3}{2\mathrm{e}},\frac{3}{4}\right)
D.
[32e,1)\left[\frac{3}{2\mathrm{e}},1\right)

2015 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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13函数与初等函数★★★☆☆
若函数 f(x)=xln⁡(x+a+x2)f(x) = x \ln \left( x + \sqrt{a + x^2} \right) 为偶函数，则 a=a =______.

2015 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14解析几何★★★☆☆
一个圆经过椭圆 x216+y24=1\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1 的三个顶点，且圆心在 xx 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为______.

2015 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15不等式★★☆☆☆
若 xx，yy 满足约束条件
{x−1⩾0,x−y⩽0,x+y−4⩽0,\begin{cases} x - 1 \geqslant 0,\\ x - y \leqslant 0,\\ x + y - 4 \leqslant 0, \end{cases}
则 yx\frac{y}{x} 的最大值为______.

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16三角函数★★★★☆
在平面四边形 ABCDABCD 中，∠A=∠B=∠C=75∘\angle A = \angle B = \angle C = 75^{\circ}，BC=2BC = 2，则 ABAB 的取值范围是______.

2015 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17数列★★★☆☆
SnS_{n} 为数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和，已知 an>0a_{n} > 0，an2+2an=4Sn+3a_{n}^{2} + 2a_{n} = 4S_{n} + 3.
(1) 求 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 设 bn=1anan+1b_{n} = \frac{1}{a_{n}a_{n + 1}}，求数列 {bn}\{b_n\} 的前 nn 项和.

2015 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，四边形 ABCDABCD 为菱形，∠ABC=120∘\angle ABC = 120^{\circ}，EE，FF 是平面 ABCDABCD 同一侧的两点，BE⊥BE \perp 平面 ABCDABCD，DF⊥DF \perp 平面 ABCDABCD，BE=2DFBE = 2DF，AE⊥ECAE \perp EC.
(1) 证明：平面 AEC⊥AEC \perp 平面 AFCAFC； (2) 求直线 AEAE 与直线 CFCF 所成角的余弦值.

2015 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19概率与统计★★★☆☆
某公司为确定下一年度投入某产品的宣传费，需了解年宣传费 xx（单位：千元\text{千元}）对年销售量 yy（单位：t\mathrm{t}）和年利润 zz（单位：千元\text{千元}）的影响. 对近 88 年的年宣传费 xix_i 和年销售量 yiy_i（i=1i = 1，22，⋯\cdots，88）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
表中 wi=xiw_i = \sqrt{x_i}，w‾=18∑i=18wi\overline{w} = \frac{1}{8}\sum_{i=1}^{8}w_i.
(1) 根据散点图判断，y=a+bxy = a + bx 与 y=c+dxy = c + d\sqrt{x} 哪一个更适合作为年销售量 yy 关于年宣传费 xx 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） (2) 根据上一小题的判断结果及表中数据，建立 yy 关于 xx 的回归方程； (3) 已知这种产品的年利润 zz 与 xx，yy 的关系为 z=0.2y−xz = 0.2y - x. 根据上一小题的结果回答下列问题：
(i) 年宣传费 x=49x = 49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？ (ii) 年宣传费 xx 为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据 (u1,v1)(u_1,v_1)，(u2,v2)(u_2,v_2)，…\dots，(un,vn)(u_n,v_n)，其回归直线 v=α+βuv = \alpha + \beta u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 β^=∑i=1n(ui−uˉ)(vi−vˉ)∑i=1n(ui−uˉ)2\hat{\beta} = \frac{\sum_{i=1}^{n}(u_i-\bar{u})(v_i-\bar{v})}{\sum_{i=1}^{n}(u_i-\bar{u})^2}，α^=vˉ−β^uˉ\hat{\alpha} = \bar{v} - \hat{\beta}\bar{u}.

2015 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，曲线 C:y=x24C: y = \frac{x^2}{4} 与直线 l:y=kx+al: y = kx + a（a>0a > 0）交于 MM，NN 两点.
(1) 当 k=0k = 0 时，分别求 CC 在点 MM 和 NN 处的切线方程； (2) yy 轴上是否存在点 PP，使得当 kk 变动时，总有 ∠OPM=∠OPN\angle OPM = \angle OPN？说明理由.

2015 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21函数与初等函数★★★★★
已知函数 f(x)=x3+ax+14f(x) = x^3 + ax + \frac{1}{4}，g(x)=−ln⁡xg(x) = -\ln x.
(1) 当 aa 为何值时，xx 轴为曲线 y=f(x)y = f(x) 的切线； (2) 用 min⁡{m,n}\min \{m, n\} 表示 mm，nn 中的最小值. 设函数 h(x)=min⁡{f(x),g(x)}h(x) = \min \{f(x), g(x)\}（x>0x > 0），讨论 h(x)h(x) 零点的个数.

2015 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★★☆
如图，ABAB 是 ⊙O\odot O 的直径，ACAC 是 ⊙O\odot O 的切线，BCBC 交 ⊙O\odot O 于点 EE.
(1) 若 DD 为 ACAC 的中点，证明：DEDE 是 ⊙O\odot O 的切线； (2) 若 OA=3CEOA = \sqrt{3}CE，求 ∠ACB\angle ACB 的大小.

2015 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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23解析几何★★☆☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，直线 C1:x=−2C_1: x = -2，圆 C2:(x−1)2+(y−2)2=1C_2: (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 1，以坐标原点为极点，xx 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1) 求 C1C_1，C2C_2 的极坐标方程； (2) 若直线 C3C_3 的极坐标方程为 θ=π4\theta = \frac{\pi}{4}（ρ∈R\rho \in \mathbf{R}），设 C2C_2 与 C3C_3 的交点为 MM，NN，求 △C2MN\triangle C_2MN 的面积.

2015 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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24不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣x+1∣−2∣x−a∣f(x) = |x + 1| - 2|x - a|，a>0a > 0.
(1) 当 a=1a = 1 时，求不等式 f(x)>1f(x) > 1 的解集； (2) 若 f(x)f(x) 的图象与 xx 轴围成的三角形面积大于 66，求 aa 的取值范围.

2015 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 24 题 · 解答题

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