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13解析几何★★★☆☆
若直线 y=k(x−3)y=k(x-3) 与双曲线 x24−y2=1\frac{x^2}{4}-y^2=1 只有一个公共点，则 kk 的一个取值为______.

2024 · 北京 · 第 13 题 · 填空题

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09解析几何★★★☆☆
已知直线 y=kx+my=kx+m（mm 为常数）与圆 x2+y2=4x^2+y^2=4 交于点 MM，NN. 当 kk 变化时，若 ∣MN∣|MN| 的最小值为 22，则 m=m=（ ）
A.
±1\pm1
B.
±2\pm\sqrt2
C.
±3\pm\sqrt3
D.
±2\pm2

2021 · 北京 · 第 9 题 · 选择题

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10解析几何★★★☆☆
在极坐标系中，直线 ρcos⁡θ+ρsin⁡θ=a\rho\cos\theta+\rho\sin\theta=a（a>0a>0）与圆 ρ=2cos⁡θ\rho=2\cos\theta 相切，则 a=‾a=\underline{\hspace{2em}}.

2018 · 北京 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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11解析几何★★★☆☆
在极坐标系中，直线 ρcos⁡θ−3ρsin⁡θ−1=0\rho\cos\theta-\sqrt{3}\rho\sin\theta-1=0 与圆 ρ=2cos⁡θ\rho=2\cos\theta 交于 AA，BB 两点，则 ∣AB∣=‾|AB|=\underline{\hspace{2em}}.

2016 · 北京 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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13解析几何★★★☆☆
双曲线 x2a2−y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0）的渐近线为正方形 OABCOABC 的边 OAOA，OCOC 所在的直线，点 BB 为该双曲线的焦点. 若正方形 OABCOABC 的边长为 22，则 a=‾a=\underline{\hspace{2em}}.

2016 · 北京 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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07解析几何★★★☆☆
已知圆 C:(x−3)2+(y−4)2=1C: (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 1 和两点 A(−m,0)A(-m, 0)，B(m,0)B(m, 0)（m>0m > 0），若圆 CC 上存在点 PP，使得 ∠APB=90∘\angle APB = 90^\circ，则 mm 的最大值为（ ）
A.
77
B.
66
C.
55
D.
44

2014 · 北京 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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07解析几何★★★☆☆
直线 ll 过抛物线 C:x2=4yC: x^{2} = 4y 的焦点且与 yy 轴垂直，则 ll 与 CC 所围成的图形的面积等于（ ）
A.
43\frac{4}{3}
B.
2
C.
83\frac{8}{3}
D.
1623\frac{16\sqrt{2}}{3}

2013 · 北京 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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05解析几何★★★☆☆
如图，∠ACB=90∘\angle ACB = 90^{\circ}，CD⊥ABCD \perp AB 于点 DD，以 BDBD 为直径的圆与 BCBC 交于点 EE，则（ ）
A.
CE⋅CB=AD⋅DBCE \cdot CB = AD \cdot DB
B.
CE⋅CB=AD⋅ABCE\cdot CB = AD\cdot AB
C.
AD⋅AB=CD2AD\cdot AB = CD^{2}
D.
CE⋅EB=CD2CE\cdot EB = CD^{2}

2012 · 北京 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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05解析几何★★★☆☆
如图，ADAD，AEAE，BCBC 分别与圆 OO 切于点 DD，EE，FF，延长 AFAF 与圆 OO 交于另一点 GG. 给出下列三个结论：
① AD+AE=AB+BC+CAAD + AE = AB + BC + CA； ② AF⋅AG=AD⋅AEAF \cdot AG = AD \cdot AE； ③ △AFB∼△ADG\triangle AFB \sim \triangle ADG.
其中正确结论的序号是（ ）
A.
\circled1\circled2\circled{1}\circled{2}
B.
\circled2\circled3\circled{2}\circled{3}
C.
\circled1\circled3\circled{1}\circled{3}
D.
\circled1\circled2\circled3\circled{1}\circled{2}\circled{3}

2011 · 北京 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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14解析几何★★★☆☆
曲线 CC 是平面内与两个定点 F1(−1,0)F_1(-1, 0) 和 F2(1,0)F_2(1, 0) 的距离的积等于常数 a2a^2（a>1a > 1）的点的轨迹. 给出下列三个结论：
① 曲线 CC 过坐标原点； ② 曲线 CC 关于坐标原点对称； ③ 若点 PP 在曲线 CC 上，则 △F1PF2\triangle F_1PF_2 的面积不大于 12a2\frac{1}{2}a^2.
其中所有正确结论的序号是______.

2011 · 北京 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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08解析几何★★★☆☆
已知点 A(0,2)A(0,2)，B(2,0)B(2,0). 若点 CC 在函数 y=x2y = x^2 的图象上，则使得 △ABC\triangle ABC 的面积为 2 的点 CC 的个数为（ ）
A.
44
B.
33
C.
22
D.
11

2011 · 北京 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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12立体几何初步★★★☆☆
如图，⊙O\odot O 的弦 EDED，CBCB 的延长线交于点 AA. 若 BD⊥AEBD \perp AE，AB=4AB = 4，BC=2BC = 2，AD=3AD = 3，则 DE=‾DE =\underline{\hspace{2em}}； CE=‾CE =\underline{\hspace{2em}}.

2010 · 北京 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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19解析几何★★★☆☆
已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1（a>0a > 0，b>0b > 0）的离心率为 3\sqrt{3}，右准线方程为 x=33x = \frac{\sqrt{3}}{3}.
(1) 求双曲线 CC 的方程； (2) 已知直线 x−y+m=0x - y + m = 0 与双曲线 CC 交于不同的两点 AA，BB，且线段 ABAB 的中点在圆 x2+y2=5x^{2} + y^{2} = 5 上，求 mm 的值.

2009 · 北京 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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04解析几何★★★☆☆
若点 PP 到直线 x=−1x = -1 的距离比它到点 (2,0)(2,0) 的距离小 11，则点 PP 的轨迹为（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 设 P=(x,y)P=(x,y). 由题意，点 PP 到点 (2,0)(2,0) 的距离比到直线 x=−1x=-1 的距离大 11，所以 (x−2)2+y2=∣x+1∣+1\sqrt{(x-2)^2+y^2}=|x+1|+1.
当 x⩾−1x\geqslant-1 时，右端为 x+2>0x+2>0，平方得 (x−2)2+y2=(x+2)2(x-2)^2+y^2=(x+2)^2，即 y2=8xy^2=8x. 该方程推出 x⩾0x\geqslant0，与 x⩾−1x\geqslant-1 相容；反代可得两边都等于 x+2x+2，故这些点均满足原方程.
当 x<−1x<-1 时，原方程化为 (x−2)2+y2=−x\sqrt{(x-2)^2+y^2}=-x，平方得 y2=4x−4<0y^2=4x-4<0，没有实数解. 因而轨迹为抛物线 y2=8xy^2=8x，故选 D. \end{solution}
A.
圆
B.
椭圆
C.
双曲线
D.
抛物线

2008 · 北京 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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07解析几何★★★☆☆
过直线 y=xy = x 上的一点作圆 (x−5)2+(y−1)2=2(x - 5)^2 + (y - 1)^2 = 2 的两条切线 l1l_1，l2l_2，当直线 l1l_1，l2l_2 关于 y=xy = x 对称时，它们之间的夹角为（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 圆心为 O=(5,1)O=(5,1)，半径为 r=2r=\sqrt{2}. 关于 y=xy=x 的反射把 OO 变为 O′=(1,5)O'=(1,5). 由于两条切线关于 y=xy=x 对称，且交点在 y=xy=x 上，反射后每条切线仍与原圆相切，因此它们是以 OO、O′O' 为圆心、半径均为 2\sqrt2 的两个等圆的两条内公切线. 两内公切线的交点是两圆心的中点 M=(3,3)M=(3,3).
有 MO=(5−3)2+(1−3)2=22MO=\sqrt{(5-3)^2+(1-3)^2}=2\sqrt2. 设从 MM 引出的其中一条切线与直线 MOMO 的锐角为 α\alpha，则在切点处半径垂直切线，所以 sin⁡α=222=12\sin\alpha=\frac{\sqrt2}{2\sqrt2}=\frac12，从而 α=30∘\alpha=30^{\circ}. 两条切线关于 MOMO 对称，故它们的较小夹角为 2α=60∘2\alpha=60^{\circ}，故选 C. \end{solution}
A.
30∘30^{\circ}
B.
45∘45^{\circ}
C.
60∘60^{\circ}
D.
90∘90^{\circ}

2008 · 北京 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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04解析几何★★★☆☆
椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的焦点为 F1F_1，F2F_2，两条准线与 xx 轴的交点分别为 MM，NN. 若 ∣MN∣⩽2∣F1F2∣|MN| \leqslant 2|F_1F_2|，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）
A.
(0,12]\left(0, \frac{1}{2}\right]
B.
(0,22]\left(0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right]
C.
[12,1)\left[\frac{1}{2}, 1\right)
D.
[22,1)\left[\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)

2007 · 北京 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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13不等式★★★☆☆
已知点 P(x,y)P(x,y) 的坐标满足条件
{x+y⩽4,y⩾x,x⩾1,\begin{cases} x+y\leqslant4,\\ y\geqslant x,\\ x\geqslant1, \end{cases}
点 OO 为坐标原点，那么 ∣PO∣|PO| 的最小值等于______，最大值等于______.

2006 · 北京 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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19解析几何★★★☆☆
椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的两个焦点为 F1F_1，F2F_2，点 PP 在椭圆 CC 上. 且 PF1⊥F1F2PF_1 \perp F_1F_2，∣PF1∣=43|PF_1| = \frac{4}{3}，∣PF2∣=143|PF_2| = \frac{14}{3}.
(1) 求椭圆 CC 的方程； (2) 若直线 ll 过圆 x2+y2+4x−2y=0x^{2} + y^{2} + 4x - 2y = 0 的圆心 MM，交椭圆 CC 于 AA，BB 两点，且 AA，BB 关于点 MM 对称，求直线 ll 的方程.

2006 · 北京 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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