椭圆 $C: \frac{x^2}{3} + y^2 = 1$, $y = x + m$ 交 $C$ 于 $A,B$, 若 $\triangle F_1AB$ 面积是 $\triangle F_2AB$ 的 2 倍, 则 $m =$ （ ）

已知椭圆 $C: \dfrac{y^2}{a^2} + \dfrac{x^2}{b^2} = 1$ ($a > b > 0$) 的离心率为 $\dfrac{\sqrt{5}}{3}$, 点 $A(-2, 0)$ 在 $C$ 上。

(1) 求 $C$ 的方程;

(2) 过点 $(-2, 3)$ 的直线交 $C$ 于 $P, Q$ 两点, 直线 $AP, AQ$ 与 $y$ 轴的交点分别为 $M, N$, 证明: 线段 $MN$ 的中点为定点。

已知椭圆 $E: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \ (a > b > 0)$ 的一个顶点为 $A(0, 1)$, 焦距为 $2\sqrt{3}$。 (1) 求椭圆 $E$ 的方程; (2) 过点 $P(-2, 1)$ 作斜率为 $k$ 的直线与椭圆 $E$ 交于不同的两点 $B, C$, 直线 $AB, AC$ 分别与 $x$ 轴交于点 $M, N$。当 $|MN| = 2$ 时, 求 $k$ 的值。