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19导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=3−2xx2+af(x)=\dfrac{3-2x}{x^2+a}.
(1) 若 a=0a=0，求曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (1,f(1))(1,f(1)) 处的切线方程； (2) 若 f(x)f(x) 在 x=−1x=-1 处取得极值，求 f(x)f(x) 的单调区间，并求其最大值与最小值.

2021 · 北京 · 第 19 题 · 解答题

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15函数与初等函数★★★☆☆
为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量 WW 与时间 tt 的关系为 W=f(t)W=f(t)，用 −f(b)−f(a)b−a-\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} 的大小评价在 [a,b][a,b] 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.
给出下列四个结论：
① 在 [t1,t2][t_1,t_2] 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ② 在 t2t_2 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③ 在 t3t_3 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标； ④ 甲企业在 [0,t1][0,t_1]，[t1,t2][t_1,t_2]，[t2,t3][t_2,t_3] 这三段时间中，在 [0,t1][0,t_1] 的污水治理能力最强.
其中所有正确结论的序号是______.

2020 · 北京 · 第 15 题 · 填空题

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19导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=12−x2f(x)=12-x^2.
(1) 求曲线 y=f(x)y=f(x) 的斜率等于 −2-2 的切线方程； (2) 设曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (t,f(t))(t,f(t)) 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 S(t)S(t)，求 S(t)S(t) 的最小值.

2020 · 北京 · 第 19 题 · 解答题

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18导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)=[ax2−(4a+1)x+4a+3]exf(x)=\bigl[ax^2-(4a+1)x+4a+3\bigr]\mathrm{e}^x.
(1) 若曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (1,f(1))(1,f(1)) 处的切线与 xx 轴平行，求 aa； (2) 若 f(x)f(x) 在 x=2x=2 处取得极小值，求 aa 的取值范围.

2018 · 北京 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)=[ax2−(3a+1)x+3a+2]exf(x)=\left[ax^2-(3a+1)x+3a+2\right]\mathrm{e}^x.
(1) 若曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (2,f(2))\left(2,f(2)\right) 处的切线斜率为 00，求 aa； (2) 若 f(x)f(x) 在 x=1x=1 处取得极小值，求 aa 的取值范围.

2018 · 北京 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=excos⁡x−xf(x)=\mathrm{e}^x\cos x-x.
(1) 求曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (0,f(0))(0,f(0)) 处的切线方程； (2) 求函数 f(x)f(x) 在区间 [0,π2]\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right] 上的最大值和最小值.

2017 · 北京 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=excos⁡x−xf(x)=\mathrm{e}^x\cos x-x.
(1) 求曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (0,f(0))(0,f(0)) 处的切线方程； (2) 求函数 f(x)f(x) 在区间 [0,π2]\left[0,\dfrac\pi2\right] 上的最大值和最小值.

2017 · 北京 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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18导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)=xea−x+bxf(x)=x\mathrm{e}^{a-x}+bx，曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (2,f(2))(2,f(2)) 处的切线方程为 y=(e−1)x+4y=(\mathrm{e}-1)x+4.
(1) 求 aa，bb 的值； (2) 求 f(x)f(x) 的单调区间.

2016 · 北京 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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18导数及其应用★★★☆☆
设 LL 为曲线 C:y=ln⁡xxC: y = \frac{\ln x}{x} 在点 (1,0)(1,0) 处的切线.
(1) 求 LL 的方程； (2) 证明：除切点 (1,0)(1,0) 之外，曲线 CC 在直线 LL 的下方.

2013 · 北京 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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18导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=ax2+1f(x) = ax^2 + 1 （a>0a > 0），g(x)=x3+bxg(x) = x^3 + bx.
(1) 若曲线 y=f(x)y = f(x) 与曲线 y=g(x)y = g(x) 在它们的交点 (1,c)(1, c) 处具有公共切线，求 aa，bb 的值； (2) 当 a=3a = 3，b=−9b = -9 时，若函数 f(x)+g(x)f(x) + g(x) 在区间 [k,2][k, 2] 上的最大值为 28，求 kk 的取值范围.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 因为 (1,c)(1,c) 同时在两条曲线上，所以 a+1=c=1+ba+1=c=1+b，从而 a=ba=b. 两条曲线在该点具有公共切线，说明导数值相等，即 f′(1)=2af'(1)=2a，g′(1)=3+bg'(1)=3+b，所以 2a=3+b2a=3+b. 联立 a=ba=b 得 a=b=3a=b=3.
\item 令 h(x)=f(x)+g(x)=x3+3x2−9x+1h(x)=f(x)+g(x)=x^3+3x^2-9x+1，则 h′(x)=3x2+6x−9=3(x+3)(x−1)h'(x)=3x^2+6x-9=3(x+3)(x-1). 因此 hh 在 (−∞,−3)(-\infty,-3) 上递增，在 (−3,1)(-3,1) 上递减，在 (1,+∞)(1,+\infty) 上递增. 又 h(−3)=28h(-3)=28，h(1)=−4h(1)=-4，h(2)=3h(2)=3. 区间 [k,2][k,2] 要有意义，需 k⩽2k\leqslant2. 当 k⩽−3k\leqslant-3 时，区间 [k,2][k,2] 包含 x=−3x=-3，且由上述单调性，h(x)h(x) 在该区间上的最大值为 h(−3)=28h(-3)=28. 当 −3<k⩽2-3<k\leqslant2 时，区间不含 −3-3，在 [k,1][k,1] 上函数递减、在 [1,2][1,2] 上函数递增，且 h(k)<28h(k)<28、h(2)=3<28h(2)=3<28，故最大值严格小于 2828. 所以 k∈(−∞,−3]k\in(-\infty,-3]. \end{enumerate} \end{solution}

2012 · 北京 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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18导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=(x−k)exf(x) = (x - k)\mathrm{e}^x.
(1) 求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 求 f(x)f(x) 在区间 [0,1][0,1] 上的最小值.

2011 · 北京 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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18导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)=a3x3+bx2+cx+df(x) = \frac{a}{3} x^3 + bx^2 + cx + d （a>0a > 0），且方程 f′(x)−9x=0f'(x) - 9x = 0 的两个根分别为 1，4.
(1) 当 a=3a = 3 且曲线 y=f(x)y = f(x) 过原点时，求 f(x)f(x) 的解析式； (2) 若 f(x)f(x) 在 (−∞,+∞)(-\infty,+\infty) 内无极值点，求 a 的取值范围.

2010 · 北京 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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18导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)=xekxf(x) = x\mathrm{e}^{kx} （k≠0k \neq 0）.
(1) 求曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (0,f(0))(0, f(0)) 处的切线方程； (2) 求函数 f(x)f(x) 的单调区间； (3) 若函数 f(x)f(x) 在区间 (−1,1)(-1,1) 内单调递增，求 kk 的取值范围.

2009 · 北京 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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18导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)=x3−3ax+bf(x) = x^3 - 3ax + b（a≠0a \neq 0）.
(1) 若曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (2,f(2))(2, f(2)) 处与直线 y=8y = 8 相切，求 aa，bb 的值； (2) 求函数 f(x)f(x) 的单调区间与极值点.

2009 · 北京 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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18导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=2x−b(x−1)2f(x) = \frac{2x - b}{(x - 1)^2}，求导函数 f′(x)f'(x)，并确定 f(x)f(x) 的单调区间.
\begin{solution} f′(x)=2(x−1)2−2(2x−b)(x−1)(x−1)4=−2[x−(b−1)](x−1)3f'(x)=\frac{2(x-1)^2-2(2x-b)(x-1)}{(x-1)^4}=-\frac{2\bigl[x-(b-1)\bigr]}{(x-1)^3}，x≠1x\ne1. 令 c=b−1c=b-1. 当 b<2b<2（即 c<1c<1）时，f′(x)<0f'(x)<0 在 (−∞,c)(-\infty,c) 与 (1,+∞)(1,+\infty) 上成立，f′(x)>0f'(x)>0 在 (c,1)(c,1) 上成立，所以 f(x)f(x) 在 (−∞,b−1)(-\infty,b-1)、(1,+∞)(1,+\infty) 上单调递减，在 (b−1,1)(b-1,1) 上单调递增. 当 b>2b>2（即 c>1c>1）时，f′(x)<0f'(x)<0 在 (−∞,1)(-\infty,1) 与 (c,+∞)(c,+\infty) 上成立，f′(x)>0f'(x)>0 在 (1,c)(1,c) 上成立，所以 f(x)f(x) 在 (−∞,1)(-\infty,1)、(b−1,+∞)(b-1,+\infty) 上单调递减，在 (1,b−1)(1,b-1) 上单调递增. 当 b=2b=2 时，f(x)=2x−1f(x)=\frac2{x-1}，且 f′(x)=−2(x−1)2<0f'(x)=-\frac2{(x-1)^2}<0，所以在 (−∞,1)(-\infty,1)、(1,+∞)(1,+\infty) 上均单调递减. \end{solution}

2008 · 北京 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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17导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=x3+ax2+3bx+cf(x) = x^3 + ax^2 + 3bx + c（b≠0b \neq 0），且 g(x)=f(x)−2g(x) = f(x) - 2 是奇函数.
(1) 求 aa，cc 的值； (2) 求函数 f(x)f(x) 的单调区间.

2008 · 北京 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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06导数及其应用★★★☆☆
在下列四个函数中，满足性质“对于区间 (1,2)(1,2) 上的任意 x1x_1，x2x_2（x1≠x2x_1\neq x_2），∣f(x1)−f(x2)∣<∣x2−x1∣|f(x_1)-f(x_2)|<|x_2-x_1| 恒成立”的只有（ ）
A.
f(x)=1xf(x)=\frac{1}{x}
B.
f(x)=∣x∣f(x)=|x|
C.
f(x)=2xf(x)=2^x
D.
f(x)=x2f(x)=x^2

2006 · 北京 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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16导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=ax3+bx2+cxf(x)=ax^3+bx^2+cx 在点 x0x_0 处取得极大值 55，其导函数 y=f′(x)y=f'(x) 的图象经过点 (1,0)(1,0)，(2,0)(2,0)，如图所示，求：
(1) 求 x0x_0 的值； (2) 求 aa，bb，cc 的值.

2006 · 北京 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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16导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=ax3+bx2+cxf(x) = ax^3 + bx^2 + cx 在点 x0x_0 处取得极大值 55，其导函数 y=f′(x)y = f'(x) 的图象经过点 (1,0)(1,0)，(2,0)(2,0). 如图所示，求：
(1) 求 x0x_0 的值； (2) 求 aa，bb，cc 的值.

2006 · 北京 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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