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09指数函数与对数函数★★★☆☆
已知 (x1,y1)(x_1,y_1)，(x2,y2)(x_2,y_2) 是函数 y=2xy=2^x 的图象上两个不同的点，则（ ）
A.
log⁡2y1+y22<x1+x22\log_2 \frac{y_1+y_2}{2}<\frac{x_1+x_2}{2}
B.
log⁡2y1+y22>x1+x22\log_2 \frac{y_1+y_2}{2}>\frac{x_1+x_2}{2}
C.
log⁡2y1+y22<x1+x2\log_2 \frac{y_1+y_2}{2}<x_1+x_2
D.
log⁡2y1+y22>x1+x2\log_2 \frac{y_1+y_2}{2}>x_1+x_2

2024 · 北京 · 第 9 题 · 选择题

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07函数与初等函数★★★☆☆
如图，函数 f(x)f(x) 的图象为折线 ACBACB，则不等式 f(x)⩾log⁡2(x+1)f(x) \geqslant \log_2(x + 1) 的解集是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 由图可知，折线 ACBACB 的端点横坐标为 −1-1、22，且 C=(0,2)C=(0,2). 当 −1<x⩽0-1<x\leqslant0 时，f(x)=2x+2=2(x+1)>0f(x)=2x+2=2(x+1)>0，而 0<x+1⩽10<x+1\leqslant1 时 log⁡2(x+1)⩽0\log_2(x+1)\leqslant0，所以不等式成立.
当 0⩽x⩽10\leqslant x\leqslant1 时，f(x)=2−x⩾1f(x)=2-x\geqslant1，且 1⩽x+1⩽21\leqslant x+1\leqslant2，故 log⁡2(x+1)⩽1\log_2(x+1)\leqslant1，不等式仍成立. 当 1<x⩽21<x\leqslant2 时，f(x)=2−x<1f(x)=2-x<1，而 log⁡2(x+1)>1\log_2(x+1)>1，不等式不成立. 另外，x=−1x=-1 不在对数函数定义域内，因此解集为 {x∣−1<x⩽1}\{x\mid-1<x\leqslant1\}，故选 C. \end{solution}
A.
{x∣−1<x≤0}\{x\mid-1<x\leq0\}
B.
{x∣−1⩽x⩽1}\{x\mid -1\leqslant x\leqslant 1\}
C.
{x∣−1<x⩽1}\{x\mid -1 < x\leqslant 1\}
D.
{x∣−1<x⩽2}\{x\mid -1 < x\leqslant 2\}

2015 · 北京 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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07不等式★★★☆☆
设不等式组
{x+y−11⩾0,3x−y+3⩾0,5x−3y+9⩽0\left\{\begin{aligned}x+y-11&\geqslant0,\\ 3x-y+3&\geqslant0,\\ 5x-3y+9&\leqslant0\end{aligned}\right.
表示的平面区域为 DD. 若指数函数 y=axy=a^{x} 的图象上存在区域 DD 内的点，则 aa 的取值范围是（ ）
A.
(1,3](1,3]
B.
[2,3][2,3]
C.
(1,2](1,2]
D.
[3,+∞)[3, +\infty)

2010 · 北京 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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05函数与初等函数★★★☆☆
已知
f(x)={(3a−1)x+4a,x<1,log⁡ax,x⩾1,f(x)=\begin{cases} (3a-1)x+4a, & x<1,\\ \log_{a}x, & x\geqslant1, \end{cases}
是 (−∞,+∞)(-\infty,+\infty) 上的减函数，那么 aa 的取值范围是（ ）
A.
(0,1)(0,1)
B.
(0,13)\left(0,\frac{1}{3}\right)
C.
[17,13)\left[\frac{1}{7},\frac{1}{3}\right)
D.
[17,1)\left[\frac{1}{7},1\right)

2006 · 北京 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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