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07集合与逻辑基础★★★☆☆
已知函数 f(x)f(x) 的定义域为 DD，则“函数 f(x)f(x) 的值域为 R\mathbf{R}”是“对任意 M∈RM\in\mathbf{R}，存在 x0∈Dx_0\in D 使得 ∣f(x0)∣>M|f(x_0)|>M”的（ ）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2025 · 北京 · 第 7 题 · 选择题

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14函数与初等函数★★★☆☆
设函数
f(x)={−ax+1,x<a,(x−2)2,x≥af(x)=\begin{cases} -ax+1,&x<a,\\ \left(x-2\right)^2,&x\ge a \end{cases}
，若 f(x)f(x) 存在最小值，则 aa 的一个取值为______；aa 的最大值为______.

2022 · 北京 · 第 14 题 · 填空题

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06函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=2x−x−1f(x)=2^x-x-1，则不等式 f(x)>0f(x)>0 的解集是（ ）
A.
(−1,1)(-1,1)
B.
(−∞,−1)∪(1,+∞)(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)
C.
(0,1)(0,1)
D.
(−∞,0)∪(1,+∞)(-\infty,0)\cup(1,+\infty)

2020 · 北京 · 第 6 题 · 选择题

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15函数与初等函数★★★☆☆
为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量 WW 与时间 tt 的关系为 W=f(t)W=f(t)，用 −f(b)−f(a)b−a-\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} 的大小评价在 [a,b][a,b] 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.
给出下列四个结论：
① 在 [t1,t2][t_1,t_2] 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ② 在 t2t_2 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③ 在 t3t_3 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标； ④ 甲企业在 [0,t1][0,t_1]，[t1,t2][t_1,t_2]，[t2,t3][t_2,t_3] 这三段时间中，在 [0,t1][0,t_1] 的污水治理能力最强.
其中所有正确结论的序号是______.

2020 · 北京 · 第 15 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★★☆☆
李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓，京白梨，西瓜，桃. 价格依次为 6060 元/盒，6565 元/盒，8080 元/盒，9090 元/盒. 为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到 120120 元，顾客就少付 xx 元. 每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的 80%80\%.
(1) 当 x=10x=10 时，顾客一次购买草莓和西瓜各 11 盒，需要支付______ 元； (2) 在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则 xx 的最大值为______.

2019 · 北京 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★★☆☆
李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓，京白梨，西瓜，桃，价格依次为 6060 元/盒，6565 元/盒，8080 元/盒，9090 元/盒. 为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到 120120 元，顾客就少付 xx 元. 每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的 80%80\%.
(1) 当 x=10x=10 时，顾客一次购买草莓和西瓜各 11 盒，需要支付______ 元； (2) 在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则 xx 的最大值为______.

2019 · 北京 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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13函数与初等函数★★★☆☆
能说明“若 f(x)>f(0)f(x)>f(0) 对任意的 x∈(0,2]x\in(0,2] 都成立，则 f(x)f(x) 在 [0,2][0,2] 上是增函数”为假命题的一个函数是______.

2018 · 北京 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★★☆☆
三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点 AiA_i 的横，纵坐标分别为第 ii 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点 BiB_i 的横，纵坐标分别为第 ii 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1i=1，22，33.
(1) 记 QiQ_i 为第 ii 名工人在这一天中加工的零件总数，则 Q1Q_1，Q2Q_2，Q3Q_3 中最大的是______； (2) 记 pip_i 为第 ii 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则 p1p_1，p2p_2，p3p_3 中最大的是______.

2017 · 北京 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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07函数与初等函数★★★☆☆
如图，函数 f(x)f(x) 的图象为折线 ACBACB，则不等式 f(x)⩾log⁡2(x+1)f(x) \geqslant \log_2(x + 1) 的解集是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 由图可知，折线 ACBACB 的端点横坐标为 −1-1、22，且 C=(0,2)C=(0,2). 当 −1<x⩽0-1<x\leqslant0 时，f(x)=2x+2=2(x+1)>0f(x)=2x+2=2(x+1)>0，而 0<x+1⩽10<x+1\leqslant1 时 log⁡2(x+1)⩽0\log_2(x+1)\leqslant0，所以不等式成立.
当 0⩽x⩽10\leqslant x\leqslant1 时，f(x)=2−x⩾1f(x)=2-x\geqslant1，且 1⩽x+1⩽21\leqslant x+1\leqslant2，故 log⁡2(x+1)⩽1\log_2(x+1)\leqslant1，不等式仍成立. 当 1<x⩽21<x\leqslant2 时，f(x)=2−x<1f(x)=2-x<1，而 log⁡2(x+1)>1\log_2(x+1)>1，不等式不成立. 另外，x=−1x=-1 不在对数函数定义域内，因此解集为 {x∣−1<x⩽1}\{x\mid-1<x\leqslant1\}，故选 C. \end{solution}
A.
{x∣−1<x≤0}\{x\mid-1<x\leq0\}
B.
{x∣−1⩽x⩽1}\{x\mid -1\leqslant x\leqslant 1\}
C.
{x∣−1<x⩽1}\{x\mid -1 < x\leqslant 1\}
D.
{x∣−1<x⩽2}\{x\mid -1 < x\leqslant 2\}

2015 · 北京 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★★☆☆
汽车的“燃油效率”，是指汽车每消耗1 升1\text{ 升}汽油行驶的里程，下图描述了甲，乙，丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 燃油效率越大，在相同路程下消耗的汽油越少. 由图可知，乙车的燃油效率最大值超过 5 千米/升5\text{ 千米/升}，故 A 错；在相同速度和路程下，甲车的燃油效率高于丙车，故甲车不可能消耗汽油最多，B 错；甲车以 80 千米/小时80\text{ 千米/小时} 行驶 11 小时的路程为 80 千米80\text{ 千米}，图中该速度下燃油效率为 10 千米/升10\text{ 千米/升}，所以消耗汽油 80÷10=8 升80\div10=8\text{ 升}，C 错.
在不超过 80 千米/小时80\text{ 千米/小时} 的速度范围内，图中丙车的燃油效率不低于乙车，因此相同条件下丙车消耗的汽油不多于乙车，故 D 正确. \end{solution}
A.
消耗1 升1\text{ 升}汽油，乙车最多可行驶5 千米5\text{ 千米}
B.
以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C.
甲车以80 千米/小时80\text{ 千米/小时}的速度行驶1 小时1\text{ 小时}，消耗10 升10\text{ 升}汽油
D.
某城市机动车最高限速为80 千米/小时80\text{ 千米/小时}. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油

2015 · 北京 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★★☆☆
某果树前 nn 年的总产量 SnS_n 与 nn 之间的关系如图所示. 从目前记录的结果看，前 mm 年的年平均产量最高，mm 的值为（ ）
A.
5
B.
7
C.
9
D.
11

2012 · 北京 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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13函数与初等函数★★★☆☆
已知函数
f(x)={2x,x⩾2,(x−1)3,x<2,f(x) = \begin{cases} \dfrac{2}{x}, & x \geqslant 2,\\ (x - 1)^3, & x < 2, \end{cases}
若关于 xx 的方程 f(x)=kf(x) = k 有两个不同的实根，则实数 kk 的取值范围是______.

2011 · 北京 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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08解析几何★★★☆☆
已知点 A(0,2)A(0,2)，B(2,0)B(2,0). 若点 CC 在函数 y=x2y = x^2 的图象上，则使得 △ABC\triangle ABC 的面积为 2 的点 CC 的个数为（ ）
A.
44
B.
33
C.
22
D.
11

2011 · 北京 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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13函数与初等函数★★★☆☆
已知函数
f(x)={2x,x⩾2,(x−1)3,x<2,f(x) = \begin{cases} \dfrac{2}{x}, & x \geqslant 2,\\ (x - 1)^3, & x < 2, \end{cases}
若关于 xx 的方程 f(x)=kf(x) = k 有两个不同的实根，则实数 kk 的取值范围是______.

2011 · 北京 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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15三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=2cos⁡2x+sin⁡2x−4cos⁡xf(x) = 2\cos 2x + \sin^2 x - 4\cos x.
(1) 求 f(π3)f\left(\frac{\pi}{3}\right) 的值； (2) 求 f(x)f(x) 的最大值和最小值.

2010 · 北京 · 理 · 第 15 题 · 解答题

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18导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)=a3x3+bx2+cx+df(x) = \frac{a}{3} x^3 + bx^2 + cx + d （a>0a > 0），且方程 f′(x)−9x=0f'(x) - 9x = 0 的两个根分别为 1，4.
(1) 当 a=3a = 3 且曲线 y=f(x)y = f(x) 过原点时，求 f(x)f(x) 的解析式； (2) 若 f(x)f(x) 在 (−∞,+∞)(-\infty,+\infty) 内无极值点，求 a 的取值范围.

2010 · 北京 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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17导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=x3+ax2+3bx+cf(x) = x^3 + ax^2 + 3bx + c（b≠0b \neq 0），且 g(x)=f(x)−2g(x) = f(x) - 2 是奇函数.
(1) 求 aa，cc 的值； (2) 求函数 f(x)f(x) 的单调区间.

2008 · 北京 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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08函数与初等函数★★★☆☆
对于函数
① f(x)=∣x+2∣f(x) = |x + 2|； ② f(x)=(x−2)2f(x) = (x - 2)^2； ③ f(x)=cos⁡(x−2)f(x) = \cos (x - 2).
判断如下两个命题的真假：
命题甲： f(x+2)f(x+2) 是偶函数；
命题乙： f(x)f(x) 在 (−∞,2)(-\infty,2) 上是减函数，在 (2,+∞)(2,+\infty) 上是增函数；
能使命题甲，乙均为真的所有函数的序号是（ ）
A.
①②
B.
①③
C.
②
D.
③

2007 · 北京 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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05函数与初等函数★★★☆☆
已知
f(x)={(3a−1)x+4a,x<1,log⁡ax,x⩾1,f(x)=\begin{cases} (3a-1)x+4a, & x<1,\\ \log_{a}x, & x\geqslant1, \end{cases}
是 (−∞,+∞)(-\infty,+\infty) 上的减函数，那么 aa 的取值范围是（ ）
A.
(0,1)(0,1)
B.
(0,13)\left(0,\frac{1}{3}\right)
C.
[17,13)\left[\frac{1}{7},\frac{1}{3}\right)
D.
[17,1)\left[\frac{1}{7},1\right)

2006 · 北京 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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05函数与初等函数★★★☆☆
已知
f(x)={(3−a)x−4a,x<1,log⁡ax,x⩾1,f(x)=\begin{cases} (3-a)x-4a,&x<1,\\ \log_{a}x,&x\geqslant1, \end{cases}
是 (−∞,+∞)(-\infty,+\infty) 上的增函数，那么 aa 的取值范围是（ ）
A.
(1,+∞)(1,+\infty)
B.
(−∞,3)(-\infty,3)
C.
[35,3]\left[\frac{3}{5}, 3\right]
D.
(1,3)(1,3)

2006 · 北京 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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14不等式★★★☆☆
已知点 P(x,y)P(x,y) 的坐标满足条件
{x+y⩽4,y⩾x,x⩾1,\begin{cases} x+y \leqslant 4,\\ y \geqslant x,\\ x \geqslant 1, \end{cases}
点 OO 为坐标原点，那么 ∣PO∣|PO| 的最小值等于______，最大值等于______.

2006 · 北京 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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