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09不等式★★★☆☆
学校组织高一，高二学生参观甲，乙两地博物馆，每位学生可自主选择一处前往. 已知高一学生总人数多于高二学生总人数，前往甲地的全体学生总数多于前往乙地的全体学生总数，则（ ）
A.
去甲地的高一学生人数多于去乙地的高一学生人数
B.
去甲地的高一学生人数多于去乙地的高二学生人数
C.
去甲地的高一学生人数不多于去乙地的高二学生人数
D.
去乙地的高二学生人数不少于去甲地的高二学生人数

2026 · 北京 · 第 9 题 · 选择题

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05不等式★★★☆☆
若 xx，yy 满足 ∣x∣≤1−y\left|x\right|\le1-y，且 y≥−1y\ge-1，则 3x+y3x+y 的最大值为（ ）.
A.
−7-7
B.
11
C.
55
D.
77

2019 · 北京 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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10不等式★★★☆☆
若 xx，yy 满足 x≤2x\le2，y≥−1y\ge-1，4x−3y+1≥04x-3y+1\ge0，则 y−xy-x 的最小值为______，最大值为______.

2019 · 北京 · 文 · 第 10 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★★☆☆
李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓，京白梨，西瓜，桃，价格依次为 6060 元/盒，6565 元/盒，8080 元/盒，9090 元/盒. 为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到 120120 元，顾客就少付 xx 元. 每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的 80%80\%.
(1) 当 x=10x=10 时，顾客一次购买草莓和西瓜各 11 盒，需要支付______ 元； (2) 在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则 xx 的最大值为______.

2019 · 北京 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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08集合与逻辑基础★★★☆☆
设集合 A={(x,y)∣x−y≥1, ax+y>4, x−ay≤2}A=\{(x,y)\mid x-y\ge1,\ ax+y>4,\ x-ay\le2\}，则（ ）.
A.
对任意实数 aa，(2,1)∈A(2,1)\in A
B.
对任意实数 aa，(2,1)∉A(2,1)\notin A
C.
当且仅当 a<0a<0 时，(2,1)∉A(2,1)\notin A
D.
当且仅当 a≤32a\le\dfrac32 时，(2,1)∉A(2,1)\notin A

2018 · 北京 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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14不等式★★★☆☆
某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
① 男学生人数多于女学生人数； ② 女学生人数多于教师人数； ③ 教师人数的两倍多于男学生人数.
(1) 若教师人数为 44，则女学生人数的最大值为______. (2) 该小组人数的最小值为______.

2017 · 北京 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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06不等式★★★☆☆
若 xx，yy 满足
{x+y−2⩾0,kx−y+2⩾0,y⩾0,\begin{cases} x + y - 2 \geqslant 0,\\ kx - y + 2 \geqslant 0,\\ y \geqslant 0, \end{cases}
且 z=y−xz = y - x 的最小值为 −4-4，则 kk 的值为（ ）
A.
2
B.
−2-2
C.
12\frac{1}{2}
D.
−12-\frac{1}{2}

2014 · 北京 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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06数列★★★☆☆
已知 {an}\{a_n\} 为等比数列，下面结论中正确的是（ ）
A.
a1+a3⩾2a2a_{1} + a_{3} \geqslant 2a_{2}
B.
a12+a32⩾2a22a_{1}^{2} + a_{3}^{2} \geqslant 2a_{2}^{2}
C.
若 a1=a3，则 a1=a2\text{若 }a_{1}=a_{3}\text{，则 }a_{1}=a_{2}
D.
若 a3>a1，则 a4>a2\text{若 }a_{3}>a_{1}\text{，则 }a_{4}>a_{2}

2012 · 北京 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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14不等式★★★☆☆
已知 f(x)=m(x−2m)(x+m+3)f(x) = m(x - 2m)(x + m + 3)，g(x)=2x−2g(x) = 2^{x} - 2. 若 ∀x∈R\forall x \in \mathbf{R}，f(x)<0f(x) < 0 或 g(x)<0g(x) < 0，则 mm 的取值范围是______.

2012 · 北京 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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17概率与统计★★★☆☆
近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾，可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱. 为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计 1000 吨1000\text{ 吨} 生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：
“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱
可回收物3024030
其他垃圾202060
(1) 试估计厨余垃圾投放正确的概率； (2) 试估计生活垃圾投放错误的概率； (3) 假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱，“可回收物”箱，“其他垃圾”箱的投放量分别为 aa，bb，cc，其中 a>0a > 0，a+b+c=600a + b + c = 600. 当数据 aa，bb，cc 的方差 s2s^2 最大时，写出 aa，bb，cc 的值（结论不要求证明），并求此时 s2s^2 的值.
（注：s2=1n[(x1−x‾)2+(x2−x‾)2+⋯+(xn−x‾)2]s^2 = \frac{1}{n}\left[(x_1 - \overline{x})^2 + (x_2 - \overline{x})^2 + \cdots + (x_n - \overline{x})^2\right]，其中 x‾\overline{x} 为 x1x_1，x2x_2，⋯\cdots，xnx_n 的平均数）
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 三类厨余垃圾共 400+100+100=600400+100+100=600 吨，其中正确投放到“厨余垃圾”箱的有 400400 吨，所以估计正确投放的概率为 400600=23\dfrac{400}{600}=\dfrac{2}{3}.
\item 投放错误的垃圾量是所有非对角线数据之和，即 100+100+30+30+20+20=300100+100+30+30+20+20=300 吨. 因而估计生活垃圾投放错误的概率为 3001000=310\dfrac{300}{1000}=\dfrac{3}{10}.
\item 由于 aa，bb，cc 是投放量，bb，c⩾0c\geqslant0. 它们的平均数为 xˉ=a+b+c3=200\bar{x}=\dfrac{a+b+c}{3}=200，所以
s2=13[(a−200)2+(b−200)2+(c−200)2]=a2+b2+c2−1200003s^2=\frac{1}{3}\left[(a-200)^2+(b-200)^2+(c-200)^2\right] =\frac{a^2+b^2+c^2-120000}{3}
在 aa，bb，c⩾0c\geqslant0 且 a+b+c=600a+b+c=600 时， a2+b2+c2⩽(a+b+c)2=360000a^2+b^2+c^2\leqslant(a+b+c)^2=360000，等号当且仅当其中两个数为零. 结合 a>0a>0，方差最大时 a=600a=600，b=c=0b=c=0，并且 s2=360000−1200003=80000s^2=\dfrac{360000-120000}{3}=80000. \end{enumerate} \end{solution}

2012 · 北京 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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07不等式★★★☆☆
某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为 800 元800\text{ 元}. 若每批生产 xx 件，则平均仓储时间为 x8 天\frac{x}{8}\text{ 天}，且每件产品每天的仓储费用为 1 元1\text{ 元}. 为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（ ）
A.
60 件60\text{ 件}
B.
80 件80\text{ 件}
C.
100 件100\text{ 件}
D.
120 件120\text{ 件}

2011 · 北京 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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07不等式★★★☆☆
设不等式组
{x+y−11⩾0,3x−y+3⩾0,5x−3y+9⩽0\left\{\begin{aligned}x+y-11&\geqslant0,\\ 3x-y+3&\geqslant0,\\ 5x-3y+9&\leqslant0\end{aligned}\right.
表示的平面区域为 DD. 若指数函数 y=axy=a^{x} 的图象上存在区域 DD 内的点，则 aa 的取值范围是（ ）
A.
(1,3](1,3]
B.
[2,3][2,3]
C.
(1,2](1,2]
D.
[3,+∞)[3, +\infty)

2010 · 北京 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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06不等式★★★☆☆
若不等式组
{x−y⩾0,2x+y⩽2,y⩾0,x+y⩽a\begin{cases} x-y&\geqslant0,\\ 2x+y&\leqslant2,\\ y&\geqslant0,\\ x+y&\leqslant a \end{cases}
表示的平面区域是一个三角形，则 aa 的取值范围是（ ）
A.
a⩾43a \geqslant \frac{4}{3}
B.
0<a⩽10 < a \leqslant 1
C.
1⩽a⩽431 \leqslant a \leqslant \frac{4}{3}
D.
0<a⩽10 < a \leqslant 1 或 a⩾43a \geqslant \frac{4}{3}

2007 · 北京 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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06不等式★★★☆☆
若不等式组
{x−y+5⩾0,y⩾a,0⩽x⩽2\begin{cases} x-y+5&\geqslant0,\\ y&\geqslant a,\\ 0&\leqslant x\leqslant2 \end{cases}
表示的平面区域是一个三角形，则 aa 的取值范围是（ ）
A.
a<5a < 5
B.
a⩾7a \geqslant 7
C.
5⩽a<75 \leqslant a < 7
D.
a<5a < 5 或 a⩾7a \geqslant 7

2007 · 北京 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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15不等式★★★☆☆
记关于 xx 的不等式 x−ax+1<0\frac{x - a}{x + 1} < 0 的解集为 PP，不等式 ∣x−1∣⩽1|x - 1| \leqslant 1 的解集为 QQ.
(1) 若 a=3a = 3，求 PP. (2) 若 Q⊆PQ \subseteq P，求正数 aa 的取值范围.

2007 · 北京 · 文 · 第 15 题 · 解答题

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13不等式★★★☆☆
已知点 P(x,y)P(x,y) 的坐标满足条件
{x+y⩽4,y⩾x,x⩾1,\begin{cases} x+y\leqslant4,\\ y\geqslant x,\\ x\geqslant1, \end{cases}
点 OO 为坐标原点，那么 ∣PO∣|PO| 的最小值等于______，最大值等于______.

2006 · 北京 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14不等式★★★☆☆
已知点 P(x,y)P(x,y) 的坐标满足条件
{x+y⩽4,y⩾x,x⩾1,\begin{cases} x+y \leqslant 4,\\ y \geqslant x,\\ x \geqslant 1, \end{cases}
点 OO 为坐标原点，那么 ∣PO∣|PO| 的最小值等于______，最大值等于______.

2006 · 北京 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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