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18概率与统计★★★☆☆
有一道选择题考查某知识点. 甲，乙两校各随机抽取 100100 人，甲校有 8080 人答对，乙校有 7575 人答对，用频率估计概率.
(1) 从甲校随机抽取 1 人，求这个人做对该题目的概率； (2) 从甲乙两校各随机抽取 1 人，设 XX 为做对人数，求 P(X=1)P(X=1) 与 E(X)E(X)； (3) 若甲校同学掌握该知识点，则有 100%100\% 的概率做对该题目；乙校同学掌握该知识点，则有 85%85\% 的概率做对该题目；未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个. 设甲校学生掌握该知识点的概率为 p1p_1，乙校学生掌握该知识点的概率为 p2p_2，比较 p1p_1 与 p2p_2 的大小.

2025 · 北京 · 第 18 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同保险期限届满的保单中随机抽取 1000 份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：
假设：一份保单的保费为 0.4 万元；前 3 次索赔时，保险公司每次赔偿 0.8 万元；第四次索赔时，保险公司赔偿 0.6 万元. 假设不同保单的索赔次数相互独立. 用频率估计概率.
(1) 估计一份保单索赔次数不少于 2 的概率； (2) 一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.
(i) 记 XX 为一份保单的毛利润，估计 E(X)E(X)； (ii) 如果无索赔的保单的保费减少 4%，有索赔的保单的保费增加 20%，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（1）中 E(X)E(X) 估计值的大小（结论不要求证明）.

2024 · 北京 · 第 18 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续 40 天的价格变化数据，如下表所示. 在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同. 用频率估计概率.
(1) 试估计该农产品价格“上涨”的概率； (2) 假设该农产品每天的价格变化是相互独立的. 在未来的日子里任取 4 天，试估计该农产品价格在这 4 天中 2 天“上涨”，1 天“下跌”，1 天“不变”的概率； (3) 假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响. 判断第 41 天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大. （结论不要求证明）

2023 · 北京 · 第 18 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
在校运动会上，只有甲，乙，丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到 9.50 m9.50\text{ m} 以上（含 9.50 m9.50\text{ m}）的同学将获得优秀奖. 为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲，乙，丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m\mathrm{m}）：
甲：9.809.80，9.709.70，9.559.55，9.549.54，9.489.48，9.429.42，9.409.40，9.359.35，9.309.30，9.259.25；
乙：9.789.78，9.569.56，9.519.51，9.369.36，9.329.32，9.239.23；
丙：9.859.85，9.659.65，9.209.20，9.169.16.
假设用频率估计概率，且甲，乙，丙的比赛成绩相互独立.
(1) 估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率； (2) 设 XX 是甲，乙，丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计 XX 的数学期望 E(X)E(X)； (3) 在校运动会铅球比赛中，甲，乙，丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）.

2022 · 北京 · 第 18 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
在核酸检测中，“kk 合 1”混采核酸检测是指：先将 kk 个人的样本混合在一起进行 1 次检测，如果这 kk 个人都没感染新冠病毒，则检测结果为阴性；如果这 kk 个人中有感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行一次检测，得到每人的检测结果，检测结束. 现对 100100 人进行核酸检测，假设其中只有 22 人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.
(1) 将这 100100 人随机分成 1010 组，每组 1010 人，且对每组都采用“10 合 1”混采核酸检测.
(i) 如果感染新冠病毒的 22 人在同一组，求检测的总次数； (ii) 已知感染新冠病毒的 22 人在同一组的概率为 111\dfrac{1}{11}，设 XX 是检测的总次数，求 XX 的分布列与数学期望 EXEX； (2) 将这 100100 人随机分成 2020 组，每组 55 人，且对每组都采用“5 合 1”混采核酸检测. 设 YY 是检测的总次数，试判断数学期望 EYEY 与（1）中的 EXEX 的大小.（结论不要求证明）

2021 · 北京 · 第 18 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二. 为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：
\begin{array}{c} \hline & \multicolumn{2}{c|}{男生} & \multicolumn{2}{c}{女生} \\ \hline & 支持 & 不支持 & 支持 & 不支持 \\ \hline 方案一 & $200\text{ 人}$ & $400\text{ 人}$ & $300\text{ 人}$ & $100\text{ 人}$ \\ 方案二 & $350\text{ 人}$ & $250\text{ 人}$ & $150\text{ 人}$ & $250\text{ 人}$ \\ \hline \end{array}
假设所有学生对活动方案是否支持相互独立.
(1) 分别估计该校男生支持方案一的概率，该校女生支持方案一的概率； (2) 从该校全体男生中随机抽取 2 人2\text{ 人}，全体女生中随机抽取 1 人1\text{ 人}，估计这 3 人3\text{ 人}中恰有 2 人2\text{ 人}支持方案一的概率； (3) 将该校学生支持方案的概率估计值记为 p0p_0，假设该校年级有 500 名500\text{ 名} 男生和 300 名300\text{ 名} 女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为 p1p_1，试比较 p0p_0 与 p1p_1 的大小. （结论不要求证明）

2020 · 北京 · 第 18 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变. 近年来，移动支付已成为主要支付方式之一. 为了解某校学生上个月 AA，BB 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了 100100 人，发现样本中 AA，BB 两种支付方式都不使用的有 55 人，样本中仅使用 AA 和仅使用 BB 的学生的支付金额分布情况如下：
支付方式(0,1000](0,1000](1000,2000](1000,2000]大于 20002000
仅使用 BB1010 人1414 人11 人
(1) 从全校学生中随机抽取 11 人，估计该学生上个月 AA，BB 两个支付方式都使用的概率； (2) 从样本仅使用 AA 和仅使用 BB 的学生中各随机抽取 11 人，以 XX 表示这 22 人中上个月支付金额大于 10001000 元的人数，求 XX 的分布列和数学期望； (3) 已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化，现从样本仅使用 AA 的学生中，随机抽查 33 人，发现他们本月的支付金额都大于 20002000 元. 根据抽查结果，能否认为样本仅使用 AA 的学生中本月支付金额大于 20002000 元的人数有变化？说明理由.

2019 · 北京 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
好评率0.40.20.150.250.20.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.
假设所有电影是否获得好评相互独立.
(1) 从电影公司收集的电影中随机选取 11 部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； (2) 从第四类电影和第五类电影中各随机选取 11 部，估计恰有 11 部获得好评的概率； (3) 假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“ξk=1\xi_k=1”表示第 kk 类电影得到人们喜欢，“ξk=0\xi_k=0”表示第 kk 类电影没有得到人们喜欢（k=1k=1，22，33，44，55，66）. 写出方差 D(ξ1)D(\xi_1)，D(ξ2)D(\xi_2)，D(ξ3)D(\xi_3)，D(ξ4)D(\xi_4)，D(ξ5)D(\xi_5)，D(ξ6)D(\xi_6) 的大小关系.

2018 · 北京 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
为了研究一种新药的疗效，选 100100 名患者随机分成两组，每组各 5050 名，一组服药，另一组不服药. 一段时间后，记录了两组患者的生理指标 xx 和 yy 的数据，并制成下图，其中“∗*”表示服药者，“+”表示未服药者.
(1) 从服药的 5050 名患者中随机选出一人，求此人指标 yy 的值小于 6060 的概率； (2) 从图中 AA，BB，CC，DD 四人中随机选出两人，记 ξ\xi 为选出的两人中指标 xx 的值大于 1.71.7 的人数，求 ξ\xi 的分布列和数学期望 E(ξ)E(\xi)； (3) 试判断这 100100 名患者中服药者指标 yy 数据的方差与未服药者指标 yy 数据的方差的大小（只需写出结论）.

2017 · 北京 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
某大学艺术专业 400400 名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了 100100 名学生，记录他们的分数，将数据分成 77 组：[20,30)\left[20,30\right)，[30,40)\left[30,40\right)，⋯\cdots，[80,90]\left[80,90\right]，并整理得到如下频率分布直方图：
(1) 从总体的 400400 名学生中随机抽取一人，估计其分数小于 7070 的概率； (2) 已知样本中分数小于 4040 的学生有 55 人，试估计总体中分数在区间 [40,50)\left[40,50\right) 内的人数； (3) 已知样本中有一半男生的分数不小于 7070，且样本中分数不小于 7070 的男女生人数相等. 试估计总体中男生和女生人数的比例.

2017 · 北京 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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16概率与统计★★★☆☆
AA，BB，CC 三个班共有 100100 名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如表（单位：小时）：
(1) 试估计 CC 班的学生人数； (2) 从 A 班和 C 班抽出的学生中，各随机选取一个人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙. 假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率； (3) 再从 A，B，C 三班中各随机抽取一名学生，他们该周锻炼时间分别是 77，99，8.258.25（单位：小时），这 33 个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为 μ1\mu_1，表格中数据的平均数记为 μ0\mu_0，试判断 μ0\mu_0 和 μ1\mu_1 的大小（结论不要求证明）.

2016 · 北京 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
某市居民用水拟实行阶梯水价，每人每月用水量中不超过 w 立方米w\text{ 立方米} 的部分按 4 元/立方米4\text{ 元/立方米} 收费，超出 w 立方米w\text{ 立方米} 的部分按 10 元/立方米10\text{ 元/立方米} 收费，从该市随机调查了 1000010000 位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图：
(1) 如果 ww 为整数，那么根据此次调查，为使 80%80\% 以上居民在该月的用水价格为 4 元/立方米4\text{ 元/立方米}，ww 至少定为多少？ (2) 假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当 w=3w=3 时，估计该市居民该月的人均水费.

2016 · 北京 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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16概率与统计★★★☆☆
AA，BB 两组各有 77 位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：
AA 组：1010，1111，1212，1313，1414，1515，1616；
BB 组：1212，1313，1515，1616，1717，1414，aa.
假设所有病人的康复时间相互独立，从 AA，BB 两组随机各选 11 人，AA 组选出的人记为甲，BB 组选出的人记为乙.
(1) 求甲的康复时间不少于 1414 天的概率； (2) 如果 a=25a=25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率； (3) 当 aa 为何值时，AA，BB 两组病人康复时间的方差相等？

2015 · 北京 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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14概率与统计★★★☆☆
高三年级267 位267\text{ 位}学生参加期末考试，某班37 位37\text{ 位}学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如图所示，甲，乙，丙为该班三位学生.
从这次考试成绩看，
① 在甲，乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是______； ② 在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是______.

2015 · 北京 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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17概率与统计★★★☆☆
某超市随机选取1000 位1000\text{ 位}顾客，记录了他们购买甲，乙，丙，丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.
\begin{array}{c} \hline 顾客人数 & \multicolumn{4}{c}{商品} \\ \cline{2-5} & 甲 & 乙 & 丙 & 丁 \\ \hline $100$ & √ & × & √ & √ \\ $217$ & × & √ & × & √ \\ $200$ & √ & √ & √ & × \\ $300$ & √ & × & √ & × \\ $85$ & √ & × & × & × \\ $98$ & × & √ & × & × \\ \hline \end{array}
(1) 估计顾客同时购买乙和丙的概率； (2) 估计顾客在甲，乙，丙，丁中同时购买3 种3\text{ 种}商品的概率； (3) 如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙，丙，丁中哪种商品的可能性最大？

2015 · 北京 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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16概率与统计★★★☆☆
李明在 10 场10\text{ 场} 篮球比赛中的投篮情况（假设各场比赛相互独立）：
主场 21512客场 21312
主场 3128客场 3217
主场 4238客场 41815
主场 52420客场 52512
(1) 从上述比赛随机选择一场，求李明在该场比赛中的投篮命中率超过 0.6 的概率； (2) 从上述比赛中随机选择一个主场和客场，求李明的投篮命中率一场超过 0.6，一场不超过 0.6 的概率； (3) 记 xx 是表中 10 个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记 XX 为李明在这场比赛中命中次数，比较 E(X)E(X) 与 xx 的大小. （只需要写出结论）

2014 · 北京 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
从某校随机抽取 100 名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图.
(1) 从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于 12 小时的概率； (2) 求频率分布直方图中的 aa，bb 的值； (3) 假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的 100 名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组.

2014 · 北京 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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16概率与统计★★★☆☆
下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于 100 表示空气质量优良，空气质量指数大于 200 表示空气重度污染. 某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 13 日中的某一天到达该市，并停留 2 天.
(1) 求此人到达当日空气重度污染的概率； (2) 设 XX 是此人停留期间空气质量优良的天数，求 XX 的分布列与数学期望； (3) 由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大（结论不要求证明）

2013 · 北京 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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16概率与统计★★★☆☆
下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染. 某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天.
(1) 求此人到达当日空气质量优良的概率； (2) 求此人在该市停留期间只有 1 天空气质量重度污染的概率； (3) 由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）

2013 · 北京 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾，可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱. 为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计 1000 吨1000\text{ 吨} 生活垃圾，数据统计如下（单位：吨\text{吨}）：
(1) 试估计厨余垃圾投放正确的概率； (2) 试估计生活垃圾投放错误的概率； (3) 假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱，“可回收物”箱，“其他垃圾”箱的投放量分别为 aa，bb，cc，其中 a>0a>0，a+b+c=600a+b+c=600. 当数据 aa，bb，cc 的方差 s2s^2 最大时，写出 aa，bb，cc 的值（结论不要求证明），并求此时 s2s^2 的值.
（注：s2=1n[(x1−x‾)2+(x2−x‾)2+⋯+(xn−x‾)2]s^2=\frac{1}{n}\left[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\cdots+(x_n-\overline{x})^2\right]，其中 x‾\overline{x} 为数据 x1x_1，x2x_2，⋯\cdots，xnx_n 的平均数）

2012 · 北京 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾，可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱. 为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计 1000 吨1000\text{ 吨} 生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：
“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱
可回收物3024030
其他垃圾202060
(1) 试估计厨余垃圾投放正确的概率； (2) 试估计生活垃圾投放错误的概率； (3) 假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱，“可回收物”箱，“其他垃圾”箱的投放量分别为 aa，bb，cc，其中 a>0a > 0，a+b+c=600a + b + c = 600. 当数据 aa，bb，cc 的方差 s2s^2 最大时，写出 aa，bb，cc 的值（结论不要求证明），并求此时 s2s^2 的值.
（注：s2=1n[(x1−x‾)2+(x2−x‾)2+⋯+(xn−x‾)2]s^2 = \frac{1}{n}\left[(x_1 - \overline{x})^2 + (x_2 - \overline{x})^2 + \cdots + (x_n - \overline{x})^2\right]，其中 x‾\overline{x} 为 x1x_1，x2x_2，⋯\cdots，xnx_n 的平均数）
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 三类厨余垃圾共 400+100+100=600400+100+100=600 吨，其中正确投放到“厨余垃圾”箱的有 400400 吨，所以估计正确投放的概率为 400600=23\dfrac{400}{600}=\dfrac{2}{3}.
\item 投放错误的垃圾量是所有非对角线数据之和，即 100+100+30+30+20+20=300100+100+30+30+20+20=300 吨. 因而估计生活垃圾投放错误的概率为 3001000=310\dfrac{300}{1000}=\dfrac{3}{10}.
\item 由于 aa，bb，cc 是投放量，bb，c⩾0c\geqslant0. 它们的平均数为 xˉ=a+b+c3=200\bar{x}=\dfrac{a+b+c}{3}=200，所以
s2=13[(a−200)2+(b−200)2+(c−200)2]=a2+b2+c2−1200003s^2=\frac{1}{3}\left[(a-200)^2+(b-200)^2+(c-200)^2\right] =\frac{a^2+b^2+c^2-120000}{3}
在 aa，bb，c⩾0c\geqslant0 且 a+b+c=600a+b+c=600 时， a2+b2+c2⩽(a+b+c)2=360000a^2+b^2+c^2\leqslant(a+b+c)^2=360000，等号当且仅当其中两个数为零. 结合 a>0a>0，方差最大时 a=600a=600，b=c=0b=c=0，并且 s2=360000−1200003=80000s^2=\dfrac{360000-120000}{3}=80000. \end{enumerate} \end{solution}

2012 · 北京 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
以下茎叶图记录了甲，乙两组各四名同学的植树棵数. 乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以 XX 表示.
甲组茎乙组
111\quad 11100
(1) 如果 X=8X = 8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差； (2) 如果 X=9X = 9，分别从甲，乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数 YY 的分布列和数学期望.
（注：方差 s2=1n[(x1−xˉ)2+(x2−xˉ)2+⋯+(xn−xˉ)2]s^2 = \frac{1}{n}\left[(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + \cdots + (x_n - \bar{x})^2\right]，其中 xˉ\bar{x} 为 x1x_1，x2x_2，⋯\cdots，xnx_n 的平均数）
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 当 X=8X=8 时，乙组数据为 88，88，99，1010，所以平均数为 xˉ=8+8+9+104=354\bar{x}=\dfrac{8+8+9+10}{4}=\dfrac{35}{4}. 由题给方差定义， s2=14[2(8−354)2+(9−354)2+(10−354)2]=14⋅4416=1116s^2=\dfrac14\left[2\left(8-\dfrac{35}{4}\right)^2+\left(9-\dfrac{35}{4}\right)^2+\left(10-\dfrac{35}{4}\right)^2\right]=\dfrac14\cdot\dfrac{44}{16}=\dfrac{11}{16}. \item 当 X=9X=9 时，甲组数据为 99，99，1111，1111，乙组数据为 88，99，99，1010. 两组各随机选取一人，所有 4×4=164\times4=16 个结果等可能. 甲组选出两个 99 与乙组选出 88 时，Y=17Y=17，共有 2×1=22\times1=2 个结果；甲组选出两个 99 与乙组选出两个 99 时，Y=18Y=18，共有 2×2=42\times2=4 个结果；甲组选出两个 99 与乙组选出 1010，或甲组选出两个 1111 与乙组选出 88 时，Y=19Y=19，共有 2×1+2×1=42\times1+2\times1=4 个结果；甲组选出两个 1111 与乙组选出两个 99 时，Y=20Y=20，共有 2×2=42\times2=4 个结果；甲组选出两个 1111 与乙组选出 1010 时，Y=21Y=21，共有 2×1=22\times1=2 个结果. 因此 P(Y=17)=216=18P(Y=17)=\dfrac{2}{16}=\dfrac18，P(Y=18)=416=14P(Y=18)=\dfrac{4}{16}=\dfrac14，P(Y=19)=416=14P(Y=19)=\dfrac{4}{16}=\dfrac14，P(Y=20)=416=14P(Y=20)=\dfrac{4}{16}=\dfrac14，P(Y=21)=216=18P(Y=21)=\dfrac{2}{16}=\dfrac18. 所以 E(Y)=17⋅18+18⋅14+19⋅14+20⋅14+21⋅18=19E(Y)=17\cdot\dfrac18+18\cdot\dfrac14+19\cdot\dfrac14+20\cdot\dfrac14+21\cdot\dfrac18=19. \end{enumerate} \end{solution}

2011 · 北京 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
某同学参加 3 门课程的考试. 假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为 45\frac{4}{5}，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为 pp，qq （p>qp > q）. 且不同课程是否取得优秀成绩相互独立. 记 ξ\xi 为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为
ξ\xi00112233
(1) 求该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率； (2) 求 pp，qq 的值； (3) 求数学期望 E(ξ)E(\xi).

2010 · 北京 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
某学生在上学路上要经过 44 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是 13\frac{1}{3}，遇到红灯时停留的时间都是 2 min2 \mathrm{~min}.
(1) 求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； (2) 求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间 ξ\xi 的分布列及期望.

2009 · 北京 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到 A，B，C，D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者.
(1) 求甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率； (2) 求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率； (3) 设随机变量 ξ\xi 为这五名志愿者中参加 A 岗位服务的人数，求 ξ\xi 的分布列.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 因为 55 名志愿者分到 44 个岗位且每个岗位至少一人，所以人数分配必为 22，11，11，11. 先选出二人所在的岗位，再选出这二人，最后把其余三人分别安排到其余三个岗位，等可能的分配总数为 4C523!=4×10×6=2404\mathrm C_5^2 3!=4\times10\times6=240. 甲、乙同时在 A 岗位时，二人必须正好是 A 岗位的两人，其余三人分别到 B，C，D，有 3!3! 种，所以概率为 3!240=140\frac{3!}{240}=\frac1{40}. \item 甲、乙在同一岗位时，他们必为唯一的二人岗位. 先选这个岗位，再把其余三人分别安排到另外三个岗位，共有 4⋅3!=244\cdot3!=24 种，因此 P(甲、乙同岗)=24240=110P(\text{甲、乙同岗})=\frac{24}{240}=\frac1{10}，从而 P(甲、乙不同岗)=1−110=910P(\text{甲、乙不同岗})=1-\frac1{10}=\frac9{10}. \item A 岗位人数只能取 11 或 22. 当 ξ=2\xi=2 时，先从五人中选出到 A 岗位的二人，再把其余三人分别安排到 B，C，D，有 C523!=60\mathrm C_5^2 3!=60 种，故 P(ξ=2)=60240=14P(\xi=2)=\frac{60}{240}=\frac14. 因此 P(ξ=1)=1−14=34P(\xi=1)=1-\frac14=\frac34. 分布列为 \begin{center} \begin{tabular}{c|cc} ξ\xi&11&22\ \hline PP&34\frac34&14\frac14 \end{tabular} \end{center} \end{enumerate} \end{solution}

2008 · 北京 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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