某保险公司随机抽取 $1000$ 份保单, 索赔情况如下表:

保费 $0.4$ 万元; 前三次索赔每次赔偿 $0.8$ 万元; 第四次赔偿 $0.6$ 万元。

(1) 估计一份保单索赔次数不少于 $2$ 的概率; (2) ① 记 $X$ 为一份保单的毛利润, 估计 $EX$; ② 比较保费调整后新期望值与 $EX$ 的大小。

某投篮比赛分为两个阶段, 每个参赛队由两名队员组成. 第一阶段由参赛队中一名队员投篮 3 次, 若 3 次都未投中, 则该队被淘汰; 若至少投中 1 次, 则该队进入第二阶段. 第二阶段由该队的另一名队员投篮 3 次, 每次投中得 5 分. 该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和. 某参赛队由甲、乙两名队员组成, 甲每次投中概率为 $p$, 乙为 $q$, 各次独立.

(1) 若 $p = 0.4, q = 0.5$, 甲参加第一阶段, 求得分不少于 5 分的概率;

(2) 假设 $0 < p < q$. ① 为使成绩为 15 分概率最大, 应选谁参加第一阶段? ② 为使成绩期望最大, 应选谁参加第一阶段?

一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选 $40$ 只小白鼠，随机地将其中 $20$ 只分配到试验组，另外 $20$ 只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：$g$）。

（1）设 $X$ 表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求 $X$ 的分布列和数学期望；

（2）试验结果如下：

对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为

试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为

（i）求 $40$ 只小白鼠体重的增加量的中位数 $m$，再分别统计两样本中小于 $m$ 与不小于 $m$ 的数据的个数，完成如下列联表：

（ii）根据（i）中的列联表，能否有 $95\%$ 的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？

附：$K^{2}=\dfrac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$，

2023 年 6 月 7 日, 21 世纪汽车博览会在上海举行.已知某汽车模型公司共有 $25$ 个汽车模型, 其外观和内饰的颜色分布如下表所示:

(1) 小明从这些汽车模型中随机取出一个, 记事件 $A$ 为取到红色外观的汽车模型, 事件 $B$ 为取到棕色内饰的汽车模型, 求 $P(B)$ 和 $P(B \mid A)$, 并据此判断事件 $A$ 和 $B$ 是否独立;

(2) 该公司举行抽奖活动, 规定在一次抽奖中, 每人可以从这些汽车模型中随机取出两个汽车模型, 并给出以下假设:

假设 1: 取出的两个汽车模型会出现三种结果, 即外观和内饰均为同色、外观和内饰均不为同色及仅外观或仅内饰为同色;

假设 2: 按出现结果的可能性大小, 概率越小奖项越高;

假设 3: 抽奖活动的奖金额为: 一等奖 $600$ 元、二等奖 $300$ 元、三等奖 $150$ 元.

请你分析各奖项对应的结果, 设 $X$ 为奖金额, 写出 $X$ 的分布并求其数学期望.