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07集合与逻辑基础★★★☆☆
{an}\left\{ a_n \right\}，{bn}\left\{ b_n \right\} 是无穷数列，则“存在常数 MM，使 an≤M≤bna_n\le M\le b_n（n=1n=1，22，33，⋯\cdots）”是“an≤bna_n\le b_n（n=1n=1，22，33，⋯\cdots）”的（ ）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

2026 · 北京 · 第 7 题 · 选择题

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12数列★★★☆☆
已知等差数列 {an}\left\{ a_n \right\} 的前 nn 项和为 SnS_n，且 S6=6a6+30S_6=6a_6+30，则公差 d=‾d=\underline{\hspace{2em}}，若 Sn≤S5S_n\le S_5 恒成立，则符合条件的 a1a_1 的一个取值为 ‾\underline{\hspace{2em}}.

2026 · 北京 · 第 12 题 · 填空题

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14数列★★★☆☆
我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的，用来测量物体质量的“环权”. 已知 9 枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为 9 的数列 {an}\{a_n\}，该数列的前 3 项成等差数列，后 7 项成等比数列，且 a1=1a_1=1，a5=12a_5=12，a9=192a_9=192，则 a7=‾a_7=\underline{\hspace{2em}}；数列 {an}\{a_n\} 所有项的和为 ‾\underline{\hspace{2em}}.

2023 · 北京 · 第 14 题 · 填空题

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10数列★★★☆☆
已知 {an}\{a_n\} 是各项均为整数的递增数列，且 a1≥3a_1\ge3. 若 a1+a2+a3+⋯+an=100a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n=100，则 nn 的最大值为（ ）
A.
9
B.
10
C.
11
D.
12

2021 · 北京 · 第 10 题 · 选择题

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16数列★★★☆☆
设 {an}\{a_n\} 是等差数列，a1=−10a_1=-10，且 a2+10a_2+10，a3+8a_3+8，a4+6a_4+6 成等比数列.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 记 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n，求 SnS_n 的最小值.

2019 · 北京 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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06数列★★★☆☆
设 {an}\{a_{n}\} 是等差数列，下列结论中正确的是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 设等差数列的公差为 dd，则 a2=a1+da_2=a_1+d、a3=a1+2da_3=a_1+2d.
选项 A 不成立，例如取 a1=1a_1=1、d=−32d=-\frac{3}{2}，则 a1+a2=12>0a_1+a_2=\frac{1}{2}>0，但 a2+a3=−52<0a_2+a_3=-\frac{5}{2}<0. 选项 B 不成立，例如取 a1=1a_1=1、d=−65d=-\frac{6}{5}，则 a1+a3=−25<0a_1+a_3=-\frac{2}{5}<0，但 a1+a2=45>0a_1+a_2=\frac{4}{5}>0.
若 0<a1<a20<a_1<a_2，则 d>0d>0，且
a22−a1a3=(a1+d)2−a1(a1+2d)=d2>0a_2^2-a_1a_3=(a_1+d)^2-a_1(a_1+2d)=d^2>0
由于 a1a3>0a_1a_3>0，故 a2>a1a3a_2>\sqrt{a_1a_3}，选项 C 正确. 对于选项 D，有 (a2−a1)(a2−a3)=d(−d)=−d2⩽0(a_2-a_1)(a_2-a_3)=d(-d)=-d^2\leqslant0，不可能大于零，故选 C. \end{solution}
A.
若 a1+a2>0a_{1} + a_{2} > 0，则 a2+a3>0a_{2} + a_{3} > 0
B.
若 a1+a3<0a_{1} + a_{3} < 0，则 a1+a2<0a_{1} + a_{2} < 0
C.
若 0<a1<a20 < a_{1} < a_{2}，则 a2>a1a3a_{2} > \sqrt{a_{1}a_{3}}
D.
若 a1<0a_{1} < 0，则 (a2−a1)(a2−a3)>0(a_{2} - a_{1})(a_{2} - a_{3}) > 0

2015 · 北京 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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12数列★★★☆☆
若等差数列 {an}\{a_{n}\} 满足 a7+a8+a9>0a_{7} + a_{8} + a_{9} > 0，a7+a10<0a_{7} + a_{10} < 0，则当 n=‾n =\underline{\hspace{2em}} 时，{an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和最大.

2014 · 北京 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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06数列★★★☆☆
已知 {an}\{a_n\} 为等比数列，下面结论中正确的是（ ）
A.
a1+a3⩾2a2a_{1} + a_{3} \geqslant 2a_{2}
B.
a12+a32⩾2a22a_{1}^{2} + a_{3}^{2} \geqslant 2a_{2}^{2}
C.
若 a1=a3，则 a1=a2\text{若 }a_{1}=a_{3}\text{，则 }a_{1}=a_{2}
D.
若 a3>a1，则 a4>a2\text{若 }a_{3}>a_{1}\text{，则 }a_{4}>a_{2}

2012 · 北京 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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14数列★★★☆☆
某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第 kk 棵树种植在点 Pk(xk,yk)P_{k}(x_{k},y_{k}) 处，其中 x1=1x_{1} = 1，y1=1y_{1} = 1，当 k⩾2k \geqslant 2 时，
{xk=xk−1+1−5[T(k−15)−T(k−25)],yk=yk−1+T(k−15)−T(k−25).\begin{cases} x_{k} = x_{k - 1} + 1 - 5\left[ T\left(\frac{k - 1}{5}\right) - T\left(\frac{k - 2}{5}\right) \right],\\ y_{k} = y_{k - 1} + T\left(\frac{k - 1}{5}\right) - T\left(\frac{k - 2}{5}\right). \end{cases}
T(a)T(a) 表示非负实数 aa 的整数部分，例如 T(2.6)=2T(2.6) = 2，T(0.2)=0T(0.2) = 0. 按此方案，第 66 棵树种植点的坐标应为______；第 20082008 棵树种植点的坐标应为______.
\begin{answer} (1,2)(1,2)，(3,402)(3,402) \end{answer}
\begin{solution} 记 dk=T(k−15)−T(k−25)d_k=T\left(\frac{k-1}{5}\right)-T\left(\frac{k-2}{5}\right). 当 k⩾2k\geqslant2 时，dk=1d_k=1 当且仅当 k=5j+1k=5j+1（jj 为正整数），其余情形 dk=0d_k=0. 因而通常每次使 xx 增加 11，使 yy 不变；在 k=5j+1k=5j+1 时，xx 的增量为 −4-4，yy 的增量为 11.
从 P1=(1,1)P_1=(1,1) 到 P6P_6，只有 k=6k=6 时 dk=1d_k=1，故 P6=(1,2)P_6=(1,2). 在 k=2k=2，…\ldots，20082008 中，满足 k=5j+1k=5j+1 的 kk 有 ⌊20075⌋=401\left\lfloor\frac{2007}{5}\right\rfloor=401 个. 若没有这些特殊增量，x2008=1+2007=2008x_{2008}=1+2007=2008；每次特殊增量相对于通常的增量 11 少 55，所以 x2008=2008−5⋅401=3x_{2008}=2008-5\cdot401=3，而 y2008=1+401=402y_{2008}=1+401=402. 故填 (1,2)(1,2)，(3,402)(3,402). \end{solution}

2008 · 北京 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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