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14立体几何初步★★★☆☆
已知三棱锥 A−BCDA-BCD，AD=AB=AC=22AD=AB=AC=2\sqrt{2}，BD=BC=2BD=BC=2，DC=23DC=2\sqrt{3}，则它的底面 BCDBCD 的面积为 ‾\underline{\hspace{2em}}，体积为 ‾\underline{\hspace{2em}}.

2026 · 北京 · 第 14 题 · 填空题

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17立体几何初步★★★☆☆
四棱锥 P−ABCDP-ABCD，△ACD\triangle ACD 与 △ABC\triangle ABC 为等腰直角三角形，∠ADC=90∘\angle ADC=90^\circ，∠BAC=90∘\angle BAC=90^\circ，EE 为 BCBC 中点.
(1) FF 为 PDPD 中点，GG 为 PEPE 中点，证明 FG∥FG\parallel 平面 PABPAB； (2) 若 PA⊥PA\perp 平面 ABCDABCD， PA=AC\ PA=AC，求 ABAB 与平面 PCDPCD 所成角的正弦值.

2025 · 北京 · 第 17 题 · 解答题

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08立体几何初步★★★☆☆
如图，在四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中，底面 ABCDABCD 是边长为 4 的正方形，PA=PB=4PA=PB=4，PC=PD=22PC=PD=2\sqrt{2}，该棱锥的高为（ ）
A.
11
B.
22
C.
2\sqrt{2}
D.
3\sqrt{3}

2024 · 北京 · 第 8 题 · 选择题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，在四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中，BC∥ADBC\parallel AD，AB=BC=1AB=BC=1，AD=3AD=3，点 EE 在 ADAD 上，且 PE⊥ADPE\perp AD，PE=DE=2PE=DE=2.
(1) 若 FF 为线段 PEPE 中点，求证：BF∥平面 PCDBF\parallel \text{平面 }PCD； (2) 若 AB⊥平面 PADAB\perp \text{平面 }PAD，求平面 PABPAB 与平面 PCDPCD 夹角的余弦值.

2024 · 北京 · 第 17 题 · 解答题

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09立体几何初步★★★☆☆
坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素. 安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美. 如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形. 若 AB=25mAB=25\text{m}，BC=AD=10mBC=AD=10\text{m}，且等腰梯形所在的平面，等腰三角形所在的平面与平面 ABCDABCD 的夹角的正切值均为 145\dfrac{\sqrt{14}}{5}，则该五面体的所有棱长之和为（ ）
A.
102m102\text{m}
B.
112m112\text{m}
C.
117m117\text{m}
D.
125m125\text{m}

2023 · 北京 · 第 9 题 · 选择题

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16立体几何初步★★★☆☆
如图，在三棱锥 P−ABCP-ABC 中，PA⊥平面 ABCPA\perp \text{平面 }ABC，PA=AB=BC=1PA=AB=BC=1，PC=3PC=\sqrt{3}.
(1) 求证：BC⊥平面 PABBC\perp \text{平面 }PAB； (2) 求二面角 A−PC−BA-PC-B 的大小.

2023 · 北京 · 第 16 题 · 解答题

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09立体几何初步★★★☆☆
已知正三棱锥 P−ABCP-ABC 的六条棱长均为 6，SS 是 △ABC\triangle ABC 及其内部的点构成的集合. 设集合 T={Q∈S∣PQ≤5}T=\{Q\in S\mid PQ\le 5\}，则 TT 表示的区域的面积为（ ）.
A.
3π4\frac{3\pi}{4}
B.
π\pi
C.
2π2\pi
D.
3π3\pi

2022 · 北京 · 第 9 题 · 选择题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，在三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 中，侧面 BCC1B1BCC_1B_1 为正方形，平面 BCC1B1⊥BCC_1B_1\perp 平面 ABB1A1ABB_1A_1，AB=BC=2AB=BC=2，MM，NN 分别为 A1B1A_1B_1，ACAC 的中点.
(1) 求证：MN∥MN\parallel 平面 BCC1B1BCC_1B_1； (2) 再从下列两个条件中选择一个作为已知，求直线 ABAB 与平面 BMNBMN 所成角的正弦值.
① AB⊥MNAB\perp MN； ② BM=MNBM=MN.

2022 · 北京 · 第 17 题 · 解答题

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04立体几何初步★★★☆☆
某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（ ）
A.
32+32\dfrac{3}{2}+\dfrac{\sqrt3}{2}
B.
3+33+\sqrt3
C.
32+3\dfrac{3}{2}+\sqrt3
D.
3+323+\dfrac{\sqrt3}{2}

2021 · 北京 · 第 4 题 · 选择题

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04立体几何初步★★★☆☆
某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（ ）
A.
6+36+\sqrt3
B.
6+236+2\sqrt3
C.
12+312+\sqrt3
D.
12+2312+2\sqrt3

2020 · 北京 · 第 4 题 · 选择题

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16立体几何初步★★★☆☆
如图，在正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，EE 为 BB1BB_1 的中点.
(1) 求证：BC1∥BC_1\parallel 平面 AD1EAD_1E； (2) 求直线 AA1AA_1 与平面 AD1EAD_1E 所成角的正弦值.

2020 · 北京 · 第 16 题 · 解答题

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11立体几何初步★★★☆☆
某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示. 如果网格纸上小正方形的边长为 11，那么该几何体的体积为______.

2019 · 北京 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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16立体几何初步★★★☆☆
如图，在四棱锥 PP-ABCDABCD 中，PA⊥PA\perp 平面 ABCDABCD，AD⊥CDAD\perp CD，AD∥BCAD\parallel BC，PA=AD=CD=2PA=AD=CD=2，BC=3BC=3. EE 为 PDPD 的中点，点 FF 在 PCPC 上，且 PFPC=13\dfrac{PF}{PC}=\dfrac13.
(1) 求证：CD⊥CD\perp 平面 PADPAD； (2) 求二面角 FF-AEAE-PP 的余弦值； (3) 设点 GG 在 PBPB 上，且 PGPB=23\dfrac{PG}{PB}=\dfrac23. 判断直线 AGAG 是否在平面 AEFAEF 内，说明理由.

2019 · 北京 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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12立体几何初步★★★☆☆
某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示. 如果网格纸上小正方形的边长为 11，那么该几何体的体积为______.

2019 · 北京 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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13立体几何初步★★★☆☆
已知 ll，mm 是平面 α\alpha 外的两条不同直线. 给出下列三个论断：
① l⊥ml\perp m； ② m∥αm\parallel\alpha； ③ l⊥αl\perp \alpha.
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：______.

2019 · 北京 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，在四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中，PA⊥PA\perp 平面 ABCDABCD，底面 ABCDABCD 为菱形，EE 为 CDCD 的中点.
(1) 求证：BD⊥BD\perp 平面 PACPAC； (2) 若 ∠ABC=60∘\angle ABC=60^\circ，求证：平面 PAB⊥PAB\perp 平面 PAEPAE； (3) 棱 PBPB 上是否存在点 FF，使得 CF∥CF\parallel 平面 PAEPAE？说明理由.

2019 · 北京 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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05立体几何初步★★★☆☆
某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）.
A.
11
B.
22
C.
33
D.
44

2018 · 北京 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06立体几何初步★★★☆☆
某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）.
A.
11
B.
22
C.
33
D.
44

2018 · 北京 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，在四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中，底面 ABCDABCD 为矩形，平面 PAD⊥PAD\perp 平面 ABCDABCD，PA⊥PDPA\perp PD，PA=PDPA=PD，EE，FF 分别为 ADAD，PBPB 的中点.
(1) 求证：PE⊥BCPE\perp BC； (2) 求证：平面 PAB⊥PAB\perp 平面 PCDPCD； (3) 求证：EF∥EF\parallel 平面 PCDPCD.

2018 · 北京 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，在三棱锥 P−ABCP-ABC 中，PA⊥ABPA\perp AB，PA⊥BCPA\perp BC，AB⊥BCAB\perp BC，PA=AB=BC=2PA=AB=BC=2，DD 为线段 ACAC 的中点，EE 为线段 PCPC 上一点.
(1) 求证：PA⊥BDPA\perp BD； (2) 求证：平面 BDE⊥BDE\perp 平面 PACPAC； (3) 当 PA∥PA\parallel 平面 BDEBDE 时，求三棱锥 E−BCDE-BCD 的体积.

2017 · 北京 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，在四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中，PC⊥PC\perp 平面 ABCDABCD，AB∥DCAB\parallel DC，DC⊥ACDC\perp AC.
(1) 求证：DC⊥DC\perp 平面 PACPAC； (2) 求证：平面 PAB⊥PAB\perp 平面 PACPAC； (3) 设点 EE 为 ABAB 的中点，在棱 PBPB 上是否存在点 FF，使得 PA∥PA\parallel 平面 CEFCEF？说明理由.

2016 · 北京 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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05立体几何初步★★★☆☆
某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 设三棱锥顶点为 PP，底面为 △ABC\triangle ABC，由三视图可还原出 PC⊥PC\perp 平面 ABCABC，且 PC=1PC=1. 设 DD 是 ABAB 的中点，则 AB=2AB=2、AD=BD=1AD=BD=1、CD=2CD=2，且 CD⊥ABCD\perp AB. 因而 S△ABC=12×2×2=2S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\times2\times2=2，AC=BC=12+22=5AC=BC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5. 又因为 PC⊥PC\perp 平面 ABCABC，所以 PC⊥ACPC\perp AC、PC⊥BCPC\perp BC，从而
S△PAC=S△PBC=12×1×5=52S_{\triangle PAC}=S_{\triangle PBC}=\frac{1}{2}\times1\times\sqrt5=\frac{\sqrt5}{2}
在直角三角形 PCDPCD 中，PD=PC2+CD2=5PD=\sqrt{PC^2+CD^2}=\sqrt5. 又 AB⊥PCAB\perp PC、AB⊥CDAB\perp CD，而 PCPC、CDCD 是平面 PCDPCD 内相交的两条直线，所以 AB⊥AB\perp 平面 PCDPCD，从而 PD⊥ABPD\perp AB. 因此 S△PAB=12×2×5=5S_{\triangle PAB}=\frac{1}{2}\times2\times\sqrt5=\sqrt5. 三棱锥的表面积为 2+5+52+52=2+252+\sqrt5+\frac{\sqrt5}{2}+\frac{\sqrt5}{2}=2+2\sqrt5，故选 C. \end{solution}
A.
2+52 + \sqrt{5}
B.
4+54 + \sqrt{5}
C.
2+252 + 2\sqrt{5}
D.
55

2015 · 北京 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，在三棱锥 V−ABCV-ABC 中，平面 VAB⊥VAB \perp 平面 ABCABC，△VAB\triangle VAB 为等边三角形，AC⊥BCAC \perp BC 且 AC=BC=2AC = BC = \sqrt{2}，OO，MM 分别为 ABAB，VAVA 的中点.
(1) 求证：VB∥VB\parallel 平面 MOCMOC； (2) 求证：平面 MOC⊥MOC\perp 平面 VABVAB； (3) 求三棱锥 V−ABCV-ABC 的体积.

2015 · 北京 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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07立体几何初步★★★☆☆
在空间直角坐标系 OxyzOxyz 中，已知 A(2,0,0)A(2,0,0)，B(2,2,0)B(2,2,0)，C(0,2,0)C(0,2,0)，D(1,1,2)D(1,1,\sqrt{2})，若 S1S_{1}，S2S_{2}，S3S_{3} 分别表示三棱锥 D−ABCD-ABC 在 xOyxOy，yOzyOz，zOxzOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）
A.
S1=S2=S3S_{1} = S_{2} = S_{3}
B.
S1=S2S_{1} = S_{2} 且 S3≠S1S_{3}\neq S_{1}
C.
S1=S3S_{1} = S_{3} 且 S3≠S2S_{3}\neq S_{2}
D.
S2=S3S_{2} = S_{3} 且 S1≠S3S_{1}\neq S_{3}

2014 · 北京 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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11立体几何初步★★★☆☆
某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为______.

2014 · 北京 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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