在正四棱柱 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中, 若 $AC = 4\sqrt{2}$, $BD_1 = 9$, 则其体积为______。

设 $a, b > 0$, 若 $a + \frac{1}{b} = 1$, 则 $b + \frac{1}{a}$ 的最小值为______。

已知点 $A(0, 1)$, $B(1, 2)$, 若动点 $C$ 在曲线 $x^2 - y^2 = 1$ ($x \ge 1, y \ge 0$) 上, 则 $\triangle ABC$ 的面积 （ ）

2024 年东京奥运会, 中国获得了男子 $4 \times 100$ 米混合泳接力金牌, 以下是历届奥运会男子 $4 \times 100$ 米混合泳接力项目冠军成绩(单位: 秒), 数据按照升序排列:

(1) 求这组数据的极差与中位数;

(2) 从这 $10$ 个数据中任选 $3$ 个, 求恰有 $2$ 个数据大于 $211$ 的概率;

(3) 若比赛成绩 $y$ 关于年份 $x$ 的回归方程为 $\hat{y} = -0.311x + \hat{b}$, 年份 $x$ 的平均数为 $2006$, 请预测 $2028$ 年男子 $4 \times 100$ 米混合泳接力项目冠军队的成绩。(结果精确到 $0.01$ 秒)

国内生产总值 (GDP) 是衡量该地区经济状况的最佳指标.根据统计数据显示, 某市在 2020 年间经济高质量增长, GDP 稳定增长, 第一季度和第四季度的 GDP 分别为 $232$ 亿元和 $241$ 亿元, 且四个季度的 GDP 逐季度增长.若这四个季度的 GDP 的中位数与平均数相等, 则该市 2020 年的 GDP 为______亿元.

如图, 在四棱柱 $ABCD\text{-}A_1B_1C_1D_1$ 中, $AB \parallel DC$, $AB \perp AD$, $AB = 2$, $AD = 3$, $DC = 4$.

(1) 求证: $A_1B \parallel$ 平面 $DCC_1D_1$;

(2) 若直四棱柱 $ABCD\text{-}A_1B_1C_1D_1$ 的体积为 $36$, 求二面角 $A_1\text{-}BD\text{-}A$ 的大小.

2023 年 6 月 7 日, 21 世纪汽车博览会在上海举行.已知某汽车模型公司共有 $25$ 个汽车模型, 其外观和内饰的颜色分布如下表所示:

(1) 小明从这些汽车模型中随机取出一个, 记事件 $A$ 为取到红色外观的汽车模型, 事件 $B$ 为取到棕色内饰的汽车模型, 求 $P(B)$ 和 $P(B \mid A)$, 并据此判断事件 $A$ 和 $B$ 是否独立;

(2) 该公司举行抽奖活动, 规定在一次抽奖中, 每人可以从这些汽车模型中随机取出两个汽车模型, 并给出以下假设:

假设 1: 取出的两个汽车模型会出现三种结果, 即外观和内饰均为同色、外观和内饰均不为同色及仅外观或仅内饰为同色;

假设 2: 按出现结果的可能性大小, 概率越小奖项越高;

假设 3: 抽奖活动的奖金额为: 一等奖 $600$ 元、二等奖 $300$ 元、三等奖 $150$ 元.

请你分析各奖项对应的结果, 设 $X$ 为奖金额, 写出 $X$ 的分布并求其数学期望.