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共找到 197 题
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09数列★★★☆☆
已知等差数列 {an}\left\{ a_n \right\} 中，a1=0a_1=0，dd 为公差，SnS_n 为前 nn 项和. 至少有两项 SnS_n 介于 (0,1)\left( 0,1 \right)，则 dd 的取值范围为 ‾\underline{\hspace{2em}}.

2026 · 上海 · 第 9 题 · 填空题

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10平面向量★★★☆☆
已知 k∈Rk\in \mathbf{R}，向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，c\boldsymbol{c} 是两两不平行的向量，且 a+3b∥b+c\boldsymbol{a}+3\boldsymbol{b}\parallel \boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}，2a+kc∥b+c2\boldsymbol{a}+k\boldsymbol{c}\parallel \boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}，则 k=‾k=\underline{\hspace{2em}}.

2026 · 上海 · 第 10 题 · 填空题

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11三角函数★★★☆☆
已知三角函数 f(t)=Asin⁡(ωt+φ)+Bf(t)=A\sin\left( \omega t+\varphi \right)+B（A>0A>0，B∈RB\in \mathbf{R}，ω>0\omega>0，0≤φ<2π0\le \varphi<2\pi），若 ν=f(t)\nu=f(t)，当 ν=0\nu=0 或 ν=4\nu=4 时其导数为 00，初始速度为 00，且速度第一次达到 44 时用时为 0.10.1 秒，则 f(t)=‾f(t)=\underline{\hspace{2em}}.

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15复数★★★☆☆
对于任意两个复数 zz，ww，如果满足 z−wz-w 为实数，或 z−w‾z-\overline{w} 为实数，那么就称 zz 与 ww 伴随. 如果 zz 与 ww 伴随，则 w−iw-\mathrm{i} 与 z+iz+\mathrm{i} 伴随的充要条件是（ ）
A.
Rez+Rew=0\mathrm{Re} z+\mathrm{Re} w=0
B.
Rez−Rew=0\mathrm{Re} z-\mathrm{Re} w=0
C.
Imz+Imw=0\mathrm{Im} z+\mathrm{Im} w=0
D.
Imz−Imw=0\mathrm{Im} z-\mathrm{Im} w=0

2026 · 上海 · 第 15 题 · 选择题

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17概率与统计★★★☆☆
工厂为了保护和改善环境，记录了颗粒物密度和二氧化硫密度. 下表是 20232023 年前九年数据：
(1) 从九年中任意抽取一年，该年份颗粒物密度比二氧化硫密度高的概率是多少？ (2) 想要研究颗粒物密度和二氧化硫密度的线性关系，你准备选择扇形图，茎叶图还是散点图？研究颗粒物密度和二氧化硫密度的相关系数，你认为在区间 (−1,0)(-1,0)，(0,1)(0,1) 还是 (1,2)(1,2) 内？直接写出答案； (3) 九年中的平均年份是 20182018 年. 设 xx 为年份，颗粒物密度为 yy，现在有两个选择：y1=106.55e−0.461(x−2014)y_1=106.55\mathrm{e}^{-0.461\left( x-2014 \right)}，y2=a(x−2014)+83.743y_2=a\left( x-2014 \right)+83.743（a∈Ra\in\mathbf{R}），其中 y1y_1 是回归方程，y2y_2 是线性回归方程. 通过预测值与实际值之差的绝对值来比较精确度，已知在 20232023 年实际颗粒物密度为 3.883.88，预测值与实际值之差的绝对值哪个更小（精确到 0.010.01）？

2026 · 上海 · 第 17 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
四棱锥 P−ABCDP-ABCD 的底面 ABCDABCD 是矩形，点 HH 在线段 ADAD 上，PH⊥平面 ABCDPH\perp\text{平面 }ABCD，AB=2AB=2，AH=1AH=1，HD=4HD=4.
(1) 证明：HC⊥PBHC \perp PB； (2) 若四棱锥体积 VP−ABCD=1053V_{P-ABCD}=\frac{10\sqrt{5}}{3}，求二面角 C−PB−HC-PB-H 的大小.

2026 · 上海 · 第 18 题 · 解答题

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10复数★★★☆☆
ii 为虚数单位，若复数 zz 满足 z2=(zˉ)2z^2=(\bar z)^2，且 ∣z∣≤1|z|\le1，则 ∣z−2−3i∣|z-2-3\mathrm{i}| 的最小值是______.

2025 · 上海 · 第 10 题 · 填空题

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15解析几何★★★☆☆
已知 A(0,1)A(0,1)，B(1,2)B(1,2)，CC 在 Γ:x2−y2=1\Gamma:x^2-y^2=1（x≥1x\ge1，y≥0y\ge0） 上，则 △ABC\triangle ABC 的面积（ ）
A.
有最大值，但没有最小值
B.
没有最大值，但有最小值
C.
既有最大值，也有最小值
D.
既没有最大值，也没有最小值

2025 · 上海 · 第 15 题 · 选择题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，PP 是圆锥顶点，OO 为底面圆心，ABAB 为底面直径，且 AB=2AB=2.
(1) 若直线 PAPA 与圆锥底面所成角为 π3\frac{\pi}{3}，求圆锥侧面积； (2) 已知 QQ 是母线 PAPA 中点，点 CC，DD 在底面圆周上，且弧 ACAC 长为 π3\frac{\pi}{3}，CD∥ABCD\parallel AB. 设点 TT 在线段 OCOC 上，证明 QT∥PBDQT\parallel PBD 所在平面.

2025 · 上海 · 第 18 题 · 解答题

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09复数★★★☆☆
设 m∈Rm\in \mathbf{R}，若虚数 zz 的实部为 1，且 z+2z=mz+\frac{2}{z}=m，则 m=m=______.

2024 · 上海 · 第 9 题 · 填空题

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15平面向量★★★☆☆
已知空间直角坐标系 OxyzOxyz 中的点集 Ω\Omega，对任意的 P1P_1，P2P_2，P3∈ΩP_3\in \Omega，均存在不全为 00 的实数 λ1\lambda_1，λ2\lambda_2，λ3\lambda_3，使得 λ1OP1→+λ2OP2→+λ3OP3→=0\lambda_1\overrightarrow{OP_1}+\lambda_2\overrightarrow{OP_2}+\lambda_3\overrightarrow{OP_3}=\boldsymbol{0}. 若 (1,0,0)∈Ω(1,0,0)\in \Omega，则 (0,0,1)∉Ω(0,0,1)\notin \Omega 的一个充分条件是（ ）
A.
(0,0,0)∈Ω(0,0,0)\in \Omega
B.
(−1,0,0)∈Ω(-1,0,0)\in \Omega
C.
(0,−1,0)∈Ω(0,-1,0)\in \Omega
D.
(0,0,−1)∈Ω(0,0,-1)\in \Omega

2024 · 上海 · 第 15 题 · 选择题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，在正四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中，OO 为底面 ABCDABCD 的中心.
(1) 若 AP=5AP=5，AD=32AD=3\sqrt{2}，将 △POA\triangle POA 绕直线 POPO 旋转一周，求所得旋转体的体积； (2) 若 AP=ADAP=AD，EE 为 PBPB 的中点，求直线 BDBD 与平面 AECAEC 所成角的大小.

2024 · 上海 · 第 17 题 · 解答题

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18指数函数与对数函数★★★☆☆
若 f(x)=log⁡axf(x)=\log_a x（a>0a>0，a≠1a\ne 1）.
(1) y=f(x)y=f(x) 过 (4,2)(4,2)，求 f(2x−2)<f(x)f(2x-2)<f(x) 的解集； (2) 存在 xx 使得 f(x+1)f(x+1)，f(ax)f(ax)，f(x+2)f(x+2) 成等差数列，求 aa 的取值范围.

2024 · 上海 · 第 18 题 · 解答题

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19概率与统计★★★☆☆
某地区为调查初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区 29000 名初中生中抽取 580 人，得到日均体育锻炼时长（表中简称时长）与学业成绩的数据如下表所示：
(1) 估计该地区 29000 名初中生中体育锻炼时长大于 1 小时人数； (2) 估计该地区初中生平均日均体育锻炼时长（结果精确到 0.1 小时）； (3) 判断是否有 95% 的把握认为该地区初中生学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于 1 小时且小于 2 小时有关？ （附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)\chi^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}，其中 n=a+b+c+dn=a+b+c+d，P(χ2≥3.841)≈0.05P(\chi^2\ge 3.841)\approx 0.05.）

2024 · 上海 · 第 19 题 · 解答题

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10计数原理与组合数学★★★☆☆
已知对任意给定的实数 xx，都有 (1+2023x)100+(2023−x)100=a0+a1x+a2x2+⋯+a100x100,\left(1+2023x\right)^{100}+\left(2023-x\right)^{100}=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_{100}x^{100}, 其中 a0a_0，a1a_1，⋯\cdots，a100∈Ra_{100}\in\mathbf{R}. 若 ak<0a_k<0，其中 k∈{0,1,2,⋯ ,100}k\in\{0,1,2,\cdots,100\}，则正整数 kk 的最大值为______.

2023 · 上海 · 第 10 题 · 填空题

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15三角函数★★★☆☆
已知 a>0a>0，函数 y=sin⁡xy=\sin x 在区间 [a,2a]\left[a,2a\right] 上的最小值为 ss，在区间 [2a,3a]\left[2a,3a\right] 上的最小值为 tt，当 aa 变化时，下列一定不成立的是（ ）.
A.
s>0,t>0s>0,t>0
B.
s>0s>0，t<0t<0
C.
s<0s<0，t<0t<0
D.
s<0s<0，t>0t>0

2023 · 上海 · 第 15 题 · 选择题

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17概率与统计★★★☆☆
2023 年 6 月 7 日，21 世纪汽车博览会在上海举行. 已知某汽车模型公司共有 2525 个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：
棕色内饰2233
(1) 小明从这些汽车模型中随机取出一个，记事件 A 为“小明取到红色外观的汽车模型”，事件 B 为“小明取到棕色内饰的汽车模型”，求 P(B)P(B) 和 P(B∣A)P(B\mid A)，并据此判断事件 A 和事件 B 是否独立； (2) 该公司举行抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些汽车模型中随机取出两个汽车模型，并给出以下假设：
(i) 取出的两个汽车模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色，外观和内饰均不为同色，以及仅外观或仅内饰为同色； (ii) 按出现结果的可能性大小，概率越小奖项越高； (iii) 抽奖活动的奖金金额为：一等奖 600600 元，二等奖 300300 元，三等奖 150150 元.
请分析各奖项对应的结果，设 XX 为奖金额，写出 XX 的分布并求其数学期望.

2023 · 上海 · 第 17 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
在四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，AB∥DCAB\parallel DC，AB⊥ADAB\perp AD，AB=2AB=2，AD=3AD=3，DC=4DC=4.

2023 · 上海 · 第 18 题 · 解答题

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09计数原理与组合数学★★★☆☆
为了检测学生的身体素质指标，需从游泳类 11 项，球类 33 项，田径类 44 项，共 88 项项目中随机抽取 44 项进行测试，每一类都被抽到的概率为______（结果用最简分数表示）.

2022 · 上海 · 第 9 题 · 填空题

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10数列★★★☆☆
已知等差数列 {an}\{a_n\} 的公差不为零，SnS_n 为其前 nn 项和. 若 S5=0S_5=0，则 S1S_1，S2S_2，…\ldots，S100S_{100} 这 100100 个数中所有不同数值的个数为______.

2022 · 上海 · 第 10 题 · 填空题

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11平面向量★★★☆☆
已知平面非零向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，c\boldsymbol{c} 的模均为 λ\lambda，若 a⋅b=0\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=0，a⋅c=2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}=2，b⋅c=1\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}=1，则 λ=‾\lambda=\underline{\hspace{2em}}.

2022 · 上海 · 第 11 题 · 填空题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，已知三棱锥 P−ABCP-ABC，底面 ABCABC 为等边三角形，OO 为 ACAC 的中点，AP=AC=2AP=AC=2，且 PO⊥PO\perp 底面 ABCABC.
(1) 求三棱锥 P−ABCP-ABC 的体积 VV； (2) 若 MM 为 BCBC 中点，求 PMPM 与平面 PACPAC 所成角的大小.

2022 · 上海 · 第 17 题 · 解答题

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07不等式★★★☆☆
已知 x≤3x\le 3，2x−y−2≥02x-y-2\ge 0，3x+y−8≥03x+y-8\ge 0，z=x−yz=x-y，则 zz 的最大值为______.

2021 · 上海 · 第 7 题 · 填空题

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11解析几何★★★☆☆
已知抛物线 y2=2pxy^2=2px（p>0p>0），若第一象限的 AA，BB 在抛物线上，焦点为 FF，∣AF∣=2|AF|=2，∣BF∣=4|BF|=4，∣AB∣=3|AB|=3，求直线 ABAB 的斜率为______.

2021 · 上海 · 第 11 题 · 填空题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，在长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，已知 AB=BC=2AB=BC=2，AA1=3AA_1=3.
(1) 若 PP 是棱 A1D1A_1D_1 上的动点，求三棱锥 C−PADC-PAD 的体积； (2) 求直线 AB1AB_1 与平面 ACC1A1ACC_1A_1 的夹角大小.

2021 · 上海 · 第 17 题 · 解答题

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