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075分三角函数★★★☆☆
已知 α\alpha 为第二象限角，3sin⁡2αcos⁡α=8sin⁡αcos⁡2α3\sin 2\alpha \cos \alpha=8\sin \alpha \cos 2\alpha，则 1+sin⁡α2−cos⁡α=\frac{1+\sin \alpha}{2-\cos \alpha}=（ ）
A.
34\frac{3}{4}
B.
35\frac{3}{5}
C.
12\frac{1}{2}
D.
512\frac{5}{12}

2026 · 全国 · 二卷 · 第 7 题 · 选择题

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085分函数与初等函数★★★☆☆
已知 f(x)f\left( x \right) 是定义域为 R\mathbf{R} 的偶函数，f(x)+f(x−2)=0f\left( x \right)+f\left( x-2 \right)=0，且当 x∈[32,3]x\in \left[ \frac{3}{2},3 \right] 时，f(x)=x2+ax+bf\left( x \right)=x^2+ax+b，则
A.
a=−2a=-2，b=−3b=-3
B.
a=−2a=-2，b=3b=3
C.
a=−4a=-4，b=−3b=-3
D.
a=−4a=-4，b=3b=3

2026 · 全国 · 二卷 · 第 8 题 · 选择题

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096分解析几何★★★☆☆
已知 ⊙O:x2+y2=1\odot O:x^2+y^2=1，⊙A:x2+y2−6x−8y+k=0\odot A:x^2+y^2-6x-8y+k=0，则（ ）
A.
点 AA 的坐标为 (−3,−4)\left( -3,-4 \right)
B.
当 k=9k=9 时，⊙A\odot A 与 xx 轴相切
C.
当 k=−11k=-11 时，⊙O\odot O 与 ⊙A\odot A 相切
D.
当 ⊙O\odot O 与 ⊙A\odot A 相交时，两个交点所在直线的方程为 6x+8y−k−2=06x+8y-k-2=0

2026 · 全国 · 二卷 · 第 9 题 · 多选题

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106分数列★★★☆☆
设等比数列 {an}\{a_n\} 的公比 q≠1q\ne 1，a1>0a_1>0，2a3=a1+a22a_3=a_1+a_2，记其前 nn 项和为 SnS_n，则（ ）
A.
q=−12q=-\frac{1}{2}
B.
Sn>2a13S_n>\frac{2a_1}{3}
C.
2Sn+2=Sn+1+Sn2S_{n+2}=S_{n+1}+S_n
D.
∑k=1nSk>2na13\sum_{k=1}^{n} S_k>\frac{2na_1}{3}

2026 · 全国 · 二卷 · 第 10 题 · 多选题

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135分函数与初等函数★★★☆☆
若函数 f(x)=2x+22−x−mf\left( x \right)=2^x+2^{2-x}-m 有两个零点，则 mm 的取值范围是______.

2026 · 全国 · 二卷 · 第 13 题 · 填空题

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1513分概率与统计★★★☆☆
从某厂生产的某种电子产品中随机抽取了若干件进行试验，测试它们首次出现故障的时间（单位：天），由试验结果得到如下频率分布直方图：
(1) 估计这种电子产品首次出现故障的时间的第一四分位数及中位数（假设数据在组内均匀分布）； (2) 记 p^\hat{p} 为 11 件这种电子产品首次出现故障的时间小于 365365 天的概率的估计值.
(i) 求 p^\hat{p}； (ii) 该厂向某用户销售 100100 件这种电子产品，记 XX 为这 100100 件电子产品中首次出现故障的时间小于 365365 天的件数，假设 X∼B(100,p^)X\sim B\left( 100,\hat{p} \right)，求 E(X)E\left( X \right)，D(X)D\left( X \right).

2026 · 全国 · 二卷 · 第 15 题 · 解答题

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096分数列★★★☆☆
记 SnS_n 为等比数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，qq 为 {an}\{a_n\} 的公比，q>0q>0. 若 S3=7S_3=7，a3=1a_3=1，则（ ）
A.
q=12q=\frac12
B.
a5=19a_5=\frac19
C.
S5=8S_5=8
D.
an+Sn=8a_n+S_n=8

2025 · 全国 · 二卷 · 第 9 题 · 多选题

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106分函数与初等函数★★★☆☆
已知 f(x)f(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上的奇函数，且当 x>0x>0 时，f(x)=(x2−3)ex+2f(x)=(x^2-3)\mathrm{e}^x+2，则（ ）
A.
f(0)=0f(0)=0
B.
当 x<0x<0 时，f(x)=−(x2−3)e−x−2f(x)=-(x^2-3)\mathrm{e}^{-x}-2
C.
f(x)≥2f(x)\ge 2 当且仅当 x≥3x\ge \sqrt3
D.
x=−1x=-1 是 f(x)f(x) 的极大值点

2025 · 全国 · 二卷 · 第 10 题 · 多选题

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1513分三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=cos⁡(2x+φ)f(x)=\cos(2x+\varphi)（0≤φ<π0\le \varphi<\pi），且 f(0)=12f(0)=\frac12.
(1) 求 φ\varphi； (2) 设函数 g(x)=f(x)+f(x−π6)g(x)=f(x)+f\left(x-\frac{\pi}{6}\right)，求 g(x)g(x) 的值域和单调区间.

2025 · 全国 · 二卷 · 第 15 题 · 解答题

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1715分立体几何初步★★★☆☆
如图，在四边形 ABCDABCD 中，AB//CDAB//CD，∠DAB=90∘\angle DAB=90^\circ，FF 为 CDCD 的中点，点 EE 在 ABAB 上，EF//ADEF//AD，AB=3ADAB=3AD，CD=2ADCD=2AD.
将四边形 EFDAEFDA 沿 EFEF 翻折至四边形 EFD′A′EFD'A'，使得面 EFD′A′EFD'A' 与面 EFCBEFCB 所成的二面角为 60∘60^\circ.
(1) 证明：A′B//A'B// 平面 CD′FCD'F； (2) 求面 BCD′BCD' 与面 EFD′A′EFD'A' 所成的二面角的正弦值.

2025 · 全国 · 二卷 · 第 17 题 · 解答题

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065分函数与初等函数★★★☆☆
设函数 f(x)=a(x+1)2−1f(x)=a(x+1)^2-1，g(x)=cos⁡x+2axg(x)=\cos x+2ax，当 x∈(−1,1)x\in(-1,1) 时，曲线 y=f(x)y=f(x) 与 y=g(x)y=g(x) 恰有一个交点，则 a=a=（ ）
A.
−1-1
B.
12\frac12
C.
11
D.
22

2024 · 全国 · 新高考二卷 · 第 6 题 · 选择题

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075分立体几何初步★★★☆☆
已知正三棱台 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 的体积为 523\frac{52}{3}，AB=6AB=6，A1B1=2A_1B_1=2，则 A1AA_1A 与平面 ABCABC 所成角的正切值为（ ）
A.
12\frac12
B.
11
C.
22
D.
33

2024 · 全国 · 新高考二卷 · 第 7 题 · 选择题

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135分三角函数★★★☆☆
已知 α\alpha 为第一象限角，β\beta 为第三象限角，tan⁡α+tan⁡β=4\tan\alpha+\tan\beta=4，tan⁡αtan⁡β=2+1\tan\alpha\tan\beta=\sqrt2+1，则 sin⁡(α+β)=\sin(\alpha+\beta)=______.

2024 · 全国 · 新高考二卷 · 第 13 题 · 填空题

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145分计数原理与组合数学★★★☆☆
在如图的 4×44\times 4 方格表中选 4 个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有______ 种选法；在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的 4 个数之和的最大值是______.

2024 · 全国 · 新高考二卷 · 第 14 题 · 填空题

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1513分三角函数★★★☆☆
记 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，已知 sin⁡A+3cos⁡A=2\sin A+\sqrt3\cos A=2.
(1) 求 AA； (2) 若 a=2a=2，2bsin⁡C=csin⁡2B\sqrt2 b\sin C=c\sin 2B，求 △ABC\triangle ABC 的周长.

2024 · 全国 · 新高考二卷 · 第 15 题 · 解答题

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1615分导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=ex−ax−a3f(x)=\mathrm{e}^x-ax-a^3.
(1) 当 a=1a=1 时，求曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (1,f(1))(1,f(1)) 处的切线方程； (2) 若 f(x)f(x) 有极小值，且极小值小于 0，求 aa 的取值范围.

2024 · 全国 · 新高考二卷 · 第 16 题 · 解答题

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03立体几何初步★★★☆☆
如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形边长为 1，则该零件表面积为（ ）
A.
2424
B.
2626
C.
2828
D.
3030

2023 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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05概率与统计★★★☆☆
设 OO 为平面坐标系原点，在区域 1≤x+y≤41\le x+y\le4 内随机取一点 A. 则直线 OAOA 的倾斜角不大于 π4\frac\pi4 的概率为（ ）
A.
12\frac12
B.
16\frac16
C.
14\frac14
D.
12\frac12

2023 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 5 题 · 多选题

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06三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=sin⁡(ωx+φ)f(x)=\sin(\omega x+\varphi) 在区间 (π6,2π3)\left(\frac\pi6,\frac{2\pi}3\right) 上单调递增，直线 x=π6x=\frac\pi6 和 x=2π3x=\frac{2\pi}3 为函数 y=f(x)y=f(x) 的图象的两条对称轴，则 f(−5π12)=f\left(-\frac{5\pi}{12}\right)=（ ）
A.
−32-\frac{\sqrt3}{2}
B.
−12-\frac12
C.
12\frac12
D.
32\frac{\sqrt3}{2}

2023 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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08立体几何初步★★★☆☆
已知圆锥 POPO 的底面半径为 3，OO 为底面圆心，PAPA，PBPB 为圆锥母线，∠AOB=120∘\angle AOB=120^\circ，若 △PAB\triangle PAB 面积为 334\frac{3\sqrt3}{4}，则该圆锥体积为（ ）
A.
π\pi
B.
6π6\pi
C.
3π3\pi
D.
3π2\frac{3\pi}{2}

2023 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 8 题 · 多选题

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09立体几何初步★★★☆☆
已知 △ABC\triangle ABC 为等腰直角三角形，ABAB 为斜边，△ABD\triangle ABD 为等边三角形，若二面角 C−AB−DC-AB-D 为 150∘150^\circ，则直线 CDCD 与平面 ABCABC 所成角的正切值为（ ）
A.
15\frac15
B.
35\frac{3}{5}
C.
53\frac{5}{3}
D.
53\frac{5}{\sqrt3}

2023 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 9 题 · 多选题

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10数列★★★☆☆
已知等差数列 {an}\{a_n\} 的公差为 2π3\frac{2\pi}{3}，集合 S={cos⁡an∣n∈N∗}={a,b}S=\{\cos a_n\mid n\in\mathbf{N}^*\}=\{a,b\}，则 ab=ab=（ ）
A.
−1-1
B.
−12-\frac12
C.
00
D.
12\frac12

2023 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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15数列★★★☆☆
已知等比数列 {an}\{a_n\} 满足 a2a4a5=a3a6a_2a_4a_5=a_3a_6，a9a10=−8a_9a_{10}=-8，则 a7=a_7=______.

2023 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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18三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，已知 ∠BAC=120∘\angle BAC=120^\circ，AB=2AB=2，AC=1AC=1.
(1) 求 sin⁡∠ABC\sin \angle ABC； (2) 若 DD 为 BCBC 上一点，且 ∠BAD=90∘\angle BAD=90^\circ，求 △ADC\triangle ADC 的面积.

2023 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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22解析几何★★★☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，以坐标原点 OO 为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1C_1 的极坐标方程为 ρ=2sin⁡θ\rho=2\sin\theta（π4≤θ≤π2\frac{\pi}{4}\le\theta\le\frac{\pi}{2}），曲线 C2C_2 的参数方程为 x=2cos⁡αx=2\cos\alpha，y=2sin⁡αy=2\sin\alpha（α\alpha 为参数，π2<α<π\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi）.
(1) 写出 C1C_1 的直角坐标方程； (2) 若直线 y=x+my=x+m 既与 C1C_1 没有公共点，也与 C2C_2 没有公共点，求 mm 的取值范围.

2023 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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