数迹
题目列表试卷列表
共找到 2,151 题
排序：
组题
本页 25 题去组卷
1513分立体几何初步★★★☆☆
如图，在直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 中，∠ACB=90∘\angle ACB=90^\circ，AC=BCAC=BC，DD，EE 分别为 ABAB，AC1AC_1 的中点.
(1) 证明：DE//平面BCC1B1DE // \text{平面} BCC_1B_1； (2) 设 CC1=2CC_1=2，直线 DEDE 与平面 ACC1A1ACC_1A_1 所成的角为 45∘45^\circ，求直线 DEDE 到平面 BCC1B1BCC_1B_1 的距离．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 15 题 · 解答题

查看答案和解析
1715分概率与统计★★★☆☆
设整数 N≥2N\ge 2. 某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮 NN 次，当且仅当投中 11 次时或 NN 次均未投中时，停止练习. 设该同学每次投中的概率为 pp（0<p<10<p<1），各次投中与否相互独立. 记 XX 为停止练习时该同学的投篮次数.
(1) 当 N=4N=4，p=13p=\dfrac{1}{3} 时，求 XX 的分布列； (2) 设 kk，mm 均为自然数.
(i) 当 k≤N−1k\le N-1 时，求 P(X>k)P(X>k)； (ii) 当 k+m≤N−1k+m\le N-1 时，证明：P(X>k+m∣X>k)=P(X>m)P(X>k+m\mid X>k)=P(X>m)．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 17 题 · 解答题

查看答案和解析
1513分概率与统计★★★☆☆
从某厂生产的某种电子产品中随机抽取了若干件进行试验，测试它们首次出现故障的时间（单位：天），由试验结果得到如下频率分布直方图：
(1) 估计这种电子产品首次出现故障的时间的第一四分位数及中位数（假设数据在组内均匀分布）； (2) 记 p^\hat{p} 为 11 件这种电子产品首次出现故障的时间小于 365365 天的概率的估计值.
(i) 求 p^\hat{p}； (ii) 该厂向某用户销售 100100 件这种电子产品，记 XX 为这 100100 件电子产品中首次出现故障的时间小于 365365 天的件数，假设 X∼B(100,p^)X\sim B\left( 100,\hat{p} \right)，求 E(X)E\left( X \right)，D(X)D\left( X \right).

2026 · 全国 · 二卷 · 第 15 题 · 解答题

查看答案和解析
16三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=2sin⁡ωxcos⁡φ+2cos⁡ωxsin⁡φf(x)=2\sin \omega x\cos \varphi+2\cos \omega x\sin \varphi，ω>0\omega>0，∣φ∣<π2\left| \varphi \right|<\frac{\pi}{2}，f(x)f(x) 最小正周期为 π\pi，且 f(0)>0f(0)>0，f(π4)=1f\left( \frac{\pi}{4} \right)=1.
(1) 求 ω\omega，φ\varphi 的值； (2) 求 f(x)f(x) 的单调递减区间.

2026 · 北京 · 第 16 题 · 解答题

查看答案和解析
16三角函数★★★☆☆
已知 f(x)=sin⁡(2x+π6)f(x)=\sin \left( 2x+\frac{\pi}{6} \right).
(1) 求最小正周期； (2) 若 x∈[−π6,π12]x\in \left[ -\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{12} \right]，求 f(x)f(x) 的最大值和最小值； (3) 若 α∈(0,π2)\alpha\in \left( 0,\frac{\pi}{2} \right)，sin⁡α=33\sin \alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}，求 f(α)f(\alpha).

2026 · 天津 · 第 16 题 · 解答题

查看答案和解析
17立体几何初步★★★☆☆
在长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，AB=2AB=2，AA1=3AA_1=3，AD=4AD=4，A1E=3ED1A_1E=3ED_1，2C1F=FC2C_1F=FC.
(1) 求证：BD⊥面CEFBD\perp \text{面} CEF； (2) 求面 AEFAEF 与面 CEFCEF 的夹角的余弦值； (3) 求三棱锥 A−CEFA-CEF 的体积.

2026 · 天津 · 第 17 题 · 解答题

查看答案和解析
17概率与统计★★★☆☆
工厂为了保护和改善环境，记录了颗粒物密度和二氧化硫密度. 下表是 20232023 年前九年数据：
(1) 从九年中任意抽取一年，该年份颗粒物密度比二氧化硫密度高的概率是多少？ (2) 想要研究颗粒物密度和二氧化硫密度的线性关系，你准备选择扇形图，茎叶图还是散点图？研究颗粒物密度和二氧化硫密度的相关系数，你认为在区间 (−1,0)(-1,0)，(0,1)(0,1) 还是 (1,2)(1,2) 内？直接写出答案； (3) 九年中的平均年份是 20182018 年. 设 xx 为年份，颗粒物密度为 yy，现在有两个选择：y1=106.55e−0.461(x−2014)y_1=106.55\mathrm{e}^{-0.461\left( x-2014 \right)}，y2=a(x−2014)+83.743y_2=a\left( x-2014 \right)+83.743（a∈Ra\in\mathbf{R}），其中 y1y_1 是回归方程，y2y_2 是线性回归方程. 通过预测值与实际值之差的绝对值来比较精确度，已知在 20232023 年实际颗粒物密度为 3.883.88，预测值与实际值之差的绝对值哪个更小（精确到 0.010.01）？

2026 · 上海 · 第 17 题 · 解答题

查看答案和解析
18立体几何初步★★★☆☆
四棱锥 P−ABCDP-ABCD 的底面 ABCDABCD 是矩形，点 HH 在线段 ADAD 上，PH⊥平面 ABCDPH\perp\text{平面 }ABCD，AB=2AB=2，AH=1AH=1，HD=4HD=4.
(1) 证明：HC⊥PBHC \perp PB； (2) 若四棱锥体积 VP−ABCD=1053V_{P-ABCD}=\frac{10\sqrt{5}}{3}，求二面角 C−PB−HC-PB-H 的大小.

2026 · 上海 · 第 18 题 · 解答题

查看答案和解析
17概率与统计★★★☆☆
某兴趣班共150 人150\text{ 人}，年龄分布及兴趣爱好统计如下：
(1) 现采用分层抽样抽取30 人30\text{ 人}，其中抽到年龄在[25,35) 岁[25,35)\text{ 岁}的有多少人？ (2) 该兴趣班150 人150\text{ 人}的平均年龄是多少？ (3) 现从150 人150\text{ 人}中任意抽选1 人1\text{ 人}，记抽到的学员年龄在[35,45)[35,45)为事件AA，记抽到学员爱好摄影为事件BB. 事件AA与BB是否独立？请说明理由.

2026 · 上海 · 春季 · 第 17 题 · 解答题

查看答案和解析
18立体几何初步★★★☆☆
如图所示正四棱台 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1，其中 AB=4AB=4，A1B1=2A_1B_1=2.
(1) 当 AA1=2AA_1=2 时，求 AA1AA_1 和平面 A1B1C1D1A_1B_1C_1D_1 所成角； (2) 证明：AA1∥AA_1\parallel 平面 BC1DBC_1D；若棱台高为 3，求三棱锥 A1−BC1DA_1-BC_1D 的体积.

2026 · 上海 · 春季 · 第 18 题 · 解答题

查看答案和解析
1513分概率与统计★★★☆☆
为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表：
\multicolumn1∣c∣组别\multicolumn3c∣超声波检查结果\cline2−4正常不正常合计患该疾病20180200未患该疾病78020800合计8002001000\begin{array}{c} \hline \multicolumn{1}{|c|}{组别} & \multicolumn{3}{c|}{超声波检查结果} \\ \cline{2-4} & 正常 & 不正常 & 合计 \\ \hline 患该疾病 & 20 & 180 & 200 \\ \hline 未患该疾病 & 780 & 20 & 800 \\ \hline 合计 & 800 & 200 & 1000 \\ \hline \end{array}
(1) 记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为 pp，求 pp 的估计值； (2) 根据小概率值 α=0.001\alpha = 0.001 的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)\chi^2 = \frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}

2025 · 全国 · 一卷 · 第 15 题 · 解答题

查看答案和解析
1513分三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=cos⁡(2x+φ)f(x)=\cos(2x+\varphi)（0≤φ<π0\le \varphi<\pi），且 f(0)=12f(0)=\frac12.
(1) 求 φ\varphi； (2) 设函数 g(x)=f(x)+f(x−π6)g(x)=f(x)+f\left(x-\frac{\pi}{6}\right)，求 g(x)g(x) 的值域和单调区间.

2025 · 全国 · 二卷 · 第 15 题 · 解答题

查看答案和解析
1715分立体几何初步★★★☆☆
如图，在四边形 ABCDABCD 中，AB//CDAB//CD，∠DAB=90∘\angle DAB=90^\circ，FF 为 CDCD 的中点，点 EE 在 ABAB 上，EF//ADEF//AD，AB=3ADAB=3AD，CD=2ADCD=2AD.
将四边形 EFDAEFDA 沿 EFEF 翻折至四边形 EFD′A′EFD'A'，使得面 EFD′A′EFD'A' 与面 EFCBEFCB 所成的二面角为 60∘60^\circ.
(1) 证明：A′B//A'B// 平面 CD′FCD'F； (2) 求面 BCD′BCD' 与面 EFD′A′EFD'A' 所成的二面角的正弦值.

2025 · 全国 · 二卷 · 第 17 题 · 解答题

查看答案和解析
17立体几何初步★★★☆☆
四棱锥 P−ABCDP-ABCD，△ACD\triangle ACD 与 △ABC\triangle ABC 为等腰直角三角形，∠ADC=90∘\angle ADC=90^\circ，∠BAC=90∘\angle BAC=90^\circ，EE 为 BCBC 中点.
(1) FF 为 PDPD 中点，GG 为 PEPE 中点，证明 FG∥FG\parallel 平面 PABPAB； (2) 若 PA⊥PA\perp 平面 ABCDABCD， PA=AC\ PA=AC，求 ABAB 与平面 PCDPCD 所成角的正弦值.

2025 · 北京 · 第 17 题 · 解答题

查看答案和解析
18概率与统计★★★☆☆
有一道选择题考查某知识点. 甲，乙两校各随机抽取 100100 人，甲校有 8080 人答对，乙校有 7575 人答对，用频率估计概率.
(1) 从甲校随机抽取 1 人，求这个人做对该题目的概率； (2) 从甲乙两校各随机抽取 1 人，设 XX 为做对人数，求 P(X=1)P(X=1) 与 E(X)E(X)； (3) 若甲校同学掌握该知识点，则有 100%100\% 的概率做对该题目；乙校同学掌握该知识点，则有 85%85\% 的概率做对该题目；未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个. 设甲校学生掌握该知识点的概率为 p1p_1，乙校学生掌握该知识点的概率为 p2p_2，比较 p1p_1 与 p2p_2 的大小.

2025 · 北京 · 第 18 题 · 解答题

查看答案和解析
16三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 对边分别为 aa，bb，cc. 已知 asin⁡B=3 bcos⁡Aa\sin B=\sqrt3\,b\cos A，c−2b=1c-2b=1，a=7a=\sqrt7.
(1) 求 AA； (2) 求 cc； (3) 求 sin⁡(A+2B)\sin(A+2B).

2025 · 天津 · 第 16 题 · 解答题

查看答案和解析
18立体几何初步★★★☆☆
如图，PP 是圆锥顶点，OO 为底面圆心，ABAB 为底面直径，且 AB=2AB=2.
(1) 若直线 PAPA 与圆锥底面所成角为 π3\frac{\pi}{3}，求圆锥侧面积； (2) 已知 QQ 是母线 PAPA 中点，点 CC，DD 在底面圆周上，且弧 ACAC 长为 π3\frac{\pi}{3}，CD∥ABCD\parallel AB. 设点 TT 在线段 OCOC 上，证明 QT∥PBDQT\parallel PBD 所在平面.

2025 · 上海 · 第 18 题 · 解答题

查看答案和解析
17立体几何初步★★★☆☆
在三棱锥 P−ABCP-ABC 中，平面 PAC⊥PAC\perp 平面 ABCABC，PA=AC=CP=2PA=AC=CP=2，AB=BC=2AB=BC=\sqrt2.
(1) 若 OO 是棱 ACAC 的中点，证明：BO⊥BO\perp 平面 PACPAC，并求三棱锥 B−OPAB-OPA 的体积； (2) 求二面角 B−PC−AB-PC-A 的大小.

2025 · 上海 · 春季 · 第 17 题 · 解答题

查看答案和解析
18三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc，且 c=5c=5.
(1) 若 a4b=sin⁡Bsin⁡A\dfrac{a}{4b}=\dfrac{\sin B}{\sin A}，C=π2C=\dfrac\pi2，求 aa； (2) 若 ab=20ab=20，求 △ABC\triangle ABC 面积的最大值.

2025 · 上海 · 春季 · 第 18 题 · 解答题

查看答案和解析
19概率与统计★★★☆☆
甲，乙是两个体育社团的小组，给出两组组员身高的茎叶图（单位：厘米），以身高的百位数和十位数作为“茎”排列在中间，个位数作为“叶”分列在两边.
甲茎乙
77，77，55，55，44161600，33，55，55，66，77，88，88
88，55，44，33，22，22171722
331818
(1) 分别求甲，乙两组组员身高的第 6060 百分位数； (2) 从甲，乙两组各选取一个组员，求两人身高均在 170 厘米170\text{ 厘米} 以上的概率； (3) 为使两组人数相同，从甲组中调派一个队员到乙组. 是否存在甲组的一个组员，将他调派至乙组后，甲，乙两组的平均身高都增大？

2025 · 上海 · 春季 · 第 19 题 · 解答题

查看答案和解析
1513分三角函数★★★☆☆
记 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 对边分别为 aa，bb，cc. 已知 sin⁡C=2cos⁡B\sin C =2\cos B，a2+b2−c2=2 aba^2+b^2-c^2=\sqrt2\,ab.
(1) 求 BB； (2) 若 △ABC\triangle ABC 的面积为 3+33+\sqrt3，求 cc.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 15 题 · 解答题

查看答案和解析
1513分三角函数★★★☆☆
记 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，已知 sin⁡A+3cos⁡A=2\sin A+\sqrt3\cos A=2.
(1) 求 AA； (2) 若 a=2a=2，2bsin⁡C=csin⁡2B\sqrt2 b\sin C=c\sin 2B，求 △ABC\triangle ABC 的周长.

2024 · 全国 · 新高考二卷 · 第 15 题 · 解答题

查看答案和解析
1615分导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=ex−ax−a3f(x)=\mathrm{e}^x-ax-a^3.
(1) 当 a=1a=1 时，求曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (1,f(1))(1,f(1)) 处的切线方程； (2) 若 f(x)f(x) 有极小值，且极小值小于 0，求 aa 的取值范围.

2024 · 全国 · 新高考二卷 · 第 16 题 · 解答题

查看答案和解析
17概率与统计★★★☆☆
某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲，乙两个车间的产品中随机抽取 150 件150\text{ 件} 进行检验，数据如下：
优级品合格品不合格品总计
(1) 填写如下列联表：
优级品非优级品
能否有 95%95\% 的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有 99%99\% 的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？ (2) 已知升级改造前该工厂产品的优级品率 p=0.5p=0.5，设 pˉ\bar p 为升级改造后抽取的 n 件n\text{ 件} 产品的优级品率. 如果 pˉ>p+1.65p(1−p)n\bar p>p+1.65\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}，则认为该工厂产品的优级品率提高了. 根据抽取的 150 件150\text{ 件} 产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（150≈12.247\sqrt{150}\approx 12.247）
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)K^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}
P(K2≥k)P\left( K^2\ge k \right)0.0500.0100.001

2024 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

查看答案和解析
18数列★★★☆☆
记 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，且 4Sn=3an+44S_n=3a_n+4.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 设 bn=(−1)n−1nanb_n=\left( -1 \right)^{n-1}na_n，求数列 {bn}\{b_n\} 的前 nn 项和 TnT_n.

2024 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

查看答案和解析