定义域为 $\mathbf{R}$，且对任意实数 $x_{1}$，$x_{2}$ 都满足不等式 $f\left(\frac{x_{1} + x_{2}}{2}\right) \leqslant \frac{f(x_{1}) + f(x_{2})}{2}$ 的所有函数 $f(x)$ 组成的集合记为 $M$. 例如，函数 $f(x) = kx + b \in M$.

(1) 已知函数 证明：$f(x)\in M$； (2) 写出一个函数 $f(x)$，使得 $f(x)\notin M$，并说明理由； (3) 写出一个函数 $f(x)\in M$，使得数列极限 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{f(n)}{n^2}=1$，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{f(-n)}{-n}=1$.

对于给定首项 $x_0 > \sqrt[3]{a}$（$a > 0$），由递推式 $x_{n+1} = \frac{1}{2}\left(x_n + \sqrt{\frac{a}{x_n}}\right)$（$n \in \mathbf{N}$）得到数列 $\{x_n\}$，且对于任意的 $n \in \mathbf{N}$，都有 $x_n > \sqrt[3]{a}$. 用数列 $\{x_n\}$ 可以计算 $\sqrt[3]{a}$ 的近似值.

(1) 取 $x_0 = 5$，$a = 100$，计算 $x_1$，$x_2$，$x_3$ 的值（精确到 0.01）；归纳出 $x_n$，$x_{n+1}$ 的大小关系； (2) 当 $n \geqslant 1$ 时，证明 $x_n - x_{n+1} < \frac{1}{2}(x_{n-1} - x_n)$； (3) 当 $x_0 \in [5, 10]$ 时，用数列 $\{x_n\}$ 计算 $\sqrt[3]{100}$ 的近似值，要求 $|x_n - x_{n+1}| < 10^{-4}$，请你估计 $n$，并说明理由.