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01函数与初等函数★☆☆☆☆
函数 y=lg⁡(x−2)y=\lg\left(x-2\right) 的定义域是______.

2011 · 上海 · 春季 · 第 1 题 · 填空题

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02集合与逻辑基础★☆☆☆☆
若集合 A={x∣x⩾1}A = \{x \mid x \geqslant 1\}，B={x∣x2⩽4}B = \{x \mid x^2 \leqslant 4\}，则 A∩B=A \cap B =______.

2011 · 上海 · 春季 · 第 2 题 · 填空题

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03三角函数★☆☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，若 tan⁡A=23\tan A = \frac{\sqrt{2}}{3}，则 sin⁡A=\sin A =______.

2011 · 上海 · 春季 · 第 3 题 · 填空题

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04指数函数与对数函数★☆☆☆☆
若行列式
∣2x412∣=0\begin{vmatrix}2^{x}&4\\1&2\end{vmatrix}=0
，则 x=x=______.

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05三角函数★☆☆☆☆
若 sin⁡x=13\sin x = \frac{1}{3}，x∈[−π2,π2]x \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]，则 x=x =______（结果用反三角函数值表示）.

2011 · 上海 · 春季 · 第 5 题 · 填空题

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06计数原理与组合数学★★☆☆☆
(x+1x)6\left(x + \frac{1}{x}\right)^6 的二项展开式的常数项为______.

2011 · 上海 · 春季 · 第 6 题 · 填空题

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07解析几何★★☆☆☆
两条直线 l1:x−3y+2=0l_1: x - \sqrt{3} y + 2 = 0 与 l2:x−y+2=0l_2: x - y + 2 = 0 夹角的大小是______.

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08数列★★☆☆☆
若 SnS_{n} 为等比数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和，8a2+a5=08a_{2} + a_{5} = 0，则 S6S3=\frac{S_{6}}{S_{3}} =______.

2011 · 上海 · 春季 · 第 8 题 · 填空题

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09解析几何★★☆☆☆
若椭圆 CC 的焦点和顶点分别是双曲线 x25−y24=1\frac{x^{2}}{5}-\frac{y^{2}}{4}=1 的顶点和焦点，则椭圆 CC 的方程是______.

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10解析几何★★★☆☆
若点 OO 和点 FF 分别为椭圆 x22+y2=1\frac{x^2}{2} + y^2 = 1 的中心和左焦点，点 PP 为椭圆上的任意一点，则 ∣OP∣2+∣PF∣2|OP|^2 + |PF|^2 的最小值为______.

2011 · 上海 · 春季 · 第 10 题 · 填空题

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11不等式★★☆☆☆
根据如图所示的程序框图，输出结果 i=i=______.

2011 · 上海 · 春季 · 第 11 题 · 填空题

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12计数原理与组合数学★★★☆☆
2011年上海春季高考有8所高校招生，如果某3位同学恰好被其中2所高校录取，那么录取方法的种数为______.

2011 · 上海 · 春季 · 第 12 题 · 填空题

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13立体几何初步★★★☆☆
有一种多面体的饰品，其表面由6个正方形和8个正三角形组成（如图），ABAB 与 CDCD 所成角的大小是______.

2011 · 上海 · 春季 · 第 13 题 · 填空题

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14复数★★★☆☆
为求解方程 x5−1=0x^{5} - 1 = 0 的虚根，可以把原方程变形为 (x−1)(x4+x3+x2+x+1)=0(x - 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) = 0，再变形为 (x−1)(x2+ax+1)(x2+bx+1)=0(x - 1)(x^2 + ax + 1)(x^2 + bx + 1) = 0，由此可得原方程的一个虚根为______.

2011 · 上海 · 春季 · 第 14 题 · 填空题

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15平面向量★☆☆☆☆
若向量 a=(2,0)\boldsymbol{a} = (2,0)，b=(1,1)\boldsymbol{b} = (1,1)，则下列结论正确的是（ ）
A.
a⋅b=1\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 1.
B.
∣a∣=∣b∣|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}|.
C.
(a−b)⊥b(\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b})\perp \boldsymbol{b}.
D.
a∥b\boldsymbol{a} \parallel \boldsymbol{b}.

2011 · 上海 · 春季 · 第 15 题 · 选择题

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16函数与初等函数★★☆☆☆
函数 f(x)=4x−12xf(x) = \frac{4^x - 1}{2^x} 的图像关于（ ）
A.
原点对称.
B.
直线 y=xy=x 对称.
C.
直线 y=−xy=-x 对称.
D.
yy 轴对称.

2011 · 上海 · 春季 · 第 16 题 · 选择题

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17解析几何★☆☆☆☆
直线 l:y=k(x+12)l: y = k\left(x + \frac{1}{2}\right) 与圆 C:x2+y2=1C: x^2 + y^2 = 1 的位置关系为（ ）
A.
相交或相切.
B.
相交或相离.
C.
相切.
D.
相交.

2011 · 上海 · 春季 · 第 17 题 · 选择题

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18平面向量★★★☆☆
若 a1\boldsymbol{a}_1，a2\boldsymbol{a}_2，a3\boldsymbol{a}_3 均为单位向量，则 a1=(33,63)\boldsymbol{a}_1 = \left(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3}\right) 是 a1+a2+a3=(3,6)\boldsymbol{a}_1 + \boldsymbol{a}_2 + \boldsymbol{a}_3 = (\sqrt{3}, \sqrt{6}) 的（ ）
A.
充分不必要条件.
B.
必要不充分条件.
C.
充分必要条件.
D.
既不充分又不必要条件.

2011 · 上海 · 春季 · 第 18 题 · 选择题

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19平面向量★★★☆☆
已知向量 a=(sin⁡2x−1,cos⁡x)\boldsymbol{a} = (\sin 2x - 1, \cos x)， b=(1,2cos⁡x)\boldsymbol{b} = (1, 2\cos x). 设函数 f(x)=a⋅bf(x) = \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}，求：
(1) 函数 f(x)f(x) 的最小正周期； (2) x∈[0,π2]x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right] 时函数 f(x)f(x) 的最大值.

2011 · 上海 · 春季 · 第 19 题 · 解答题

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20立体几何初步★★★☆☆
某甜品店制作一种蛋筒冰淇淋，其上半部分呈半球形，下半部分呈圆锥形（如图）. 现把半径为 10 cm10\mathrm{~cm} 的圆形蛋皮等分成 5 个扇形，用一个扇形蛋皮围成圆锥的侧面（蛋皮厚度忽略不计），求该蛋筒冰淇淋的表面积和体积（精确到 0.01）.

2011 · 上海 · 春季 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
已知抛物线 F:x2=4yF: x^{2} = 4y.
(1) △ABC\triangle ABC 的三个顶点在抛物线 FF 上，记：△ABC\triangle ABC 的三边 ABAB，BCBC，CACA 所在直线的斜率分别为 kABk_{AB}，kBCk_{BC}，kCAk_{CA}，若点 AA 在坐标原点，求 kAB−kBC+kCAk_{AB} - k_{BC} + k_{CA} 的值； (2) 请你给出一个以 P(2,1)P(2,1) 为顶点，且其余各顶点均为抛物线 FF 上的动点的多边形，写出多边形各边所在直线的斜率之间的关系式，并说明理由.

2011 · 上海 · 春季 · 第 21 题 · 解答题

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22函数与初等函数★★★★☆
定义域为 R\mathbf{R}，且对任意实数 x1x_{1}，x2x_{2} 都满足不等式 f(x1+x22)⩽f(x1)+f(x2)2f\left(\frac{x_{1} + x_{2}}{2}\right) \leqslant \frac{f(x_{1}) + f(x_{2})}{2} 的所有函数 f(x)f(x) 组成的集合记为 MM. 例如，函数 f(x)=kx+b∈Mf(x) = kx + b \in M.
(1) 已知函数
f(x)={x,x⩾0,12x,x<0.f(x) = \begin{cases} x, & x \geqslant 0,\\ \frac{1}{2} x, & x < 0. \end{cases}
证明：f(x)∈Mf(x)\in M； (2) 写出一个函数 f(x)f(x)，使得 f(x)∉Mf(x)\notin M，并说明理由； (3) 写出一个函数 f(x)∈Mf(x)\in M，使得数列极限 lim⁡n→∞f(n)n2=1\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{f(n)}{n^2}=1，lim⁡n→∞f(−n)−n=1\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{f(-n)}{-n}=1.

2011 · 上海 · 春季 · 第 22 题 · 解答题

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23数列★★★★☆
对于给定首项 x0>a3x_0 > \sqrt[3]{a}（a>0a > 0），由递推式 xn+1=12(xn+axn)x_{n+1} = \frac{1}{2}\left(x_n + \sqrt{\frac{a}{x_n}}\right)（n∈Nn \in \mathbf{N}）得到数列 {xn}\{x_n\}，且对于任意的 n∈Nn \in \mathbf{N}，都有 xn>a3x_n > \sqrt[3]{a}. 用数列 {xn}\{x_n\} 可以计算 a3\sqrt[3]{a} 的近似值.
(1) 取 x0=5x_0 = 5，a=100a = 100，计算 x1x_1，x2x_2，x3x_3 的值（精确到 0.01）；归纳出 xnx_n，xn+1x_{n+1} 的大小关系； (2) 当 n⩾1n \geqslant 1 时，证明 xn−xn+1<12(xn−1−xn)x_n - x_{n+1} < \frac{1}{2}(x_{n-1} - x_n)； (3) 当 x0∈[5,10]x_0 \in [5, 10] 时，用数列 {xn}\{x_n\} 计算 1003\sqrt[3]{100} 的近似值，要求 ∣xn−xn+1∣<10−4|x_n - x_{n+1}| < 10^{-4}，请你估计 nn，并说明理由.

2011 · 上海 · 春季 · 第 23 题 · 解答题

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