与直线 $x + y - 2 = 0$ 和曲线 $x^{2} + y^{2} - 12x - 12y + 54 = 0$ 都相切的半径最小的圆的标准方程是______.

\begin{answer}$\left(x - 2\right)^2 + \left(y - 2\right)^2 = 2$\end{answer}

\begin{solution} 已知曲线化为 所以其圆心为 $O_1(6,6)$，半径为 $R=3\sqrt{2}$. 圆心到直线 $x+y-2=0$ 的距离为

设所求圆圆心为 $P$，半径为 $r$. 它与直线相切，所以 $d(P,l)=r$. 先考虑两圆外切，此时 $PO_1=R+r$. 若 $P$ 与 $O_1$ 位于直线两侧，则 不可能外切；故二者在直线同侧，从而 于是 $R+r\geqslant5\sqrt{2}-r$，$r\geqslant\frac{5\sqrt{2}-3\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$. 若所求圆内切于已知圆，则它完全位于已知圆内，而已知圆到直线的最小距离为 $5\sqrt{2}-3\sqrt{2}=2\sqrt{2}>0$，不可能又与该直线相切；若已知圆内切于所求圆，则 $r>R=3\sqrt{2}>\sqrt{2}$. 因此所有情形均有 $r\geqslant\sqrt{2}$.

取圆心 $P(2,2)$，则 $d(P,l)=\sqrt{2}$，且 故该圆同时与直线和已知圆相切，并达到下界. 所求圆为 \end{solution}

如图，甲船以每小时 $30 \sqrt{2}$ 海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行. 当甲船位于 $A_{1}$ 处时，乙船位于甲船的北偏西 $105^{\circ}$ 方向的 $B_{1}$ 处，此时两船相距 $20$ 海里. 当甲船航行 $20$ 分钟到达 $A_{2}$ 处时，乙船航行到甲船的北偏西 $120^{\circ}$ 方向的 $B_{2}$ 处，此时两船相距 $10 \sqrt{2}$ 海里. 问乙船每小时航行多少海里.

已知椭圆 $C$ 的中心在坐标原点，焦点在 $x$ 轴上，椭圆 $C$ 上的点到焦点距离的最大值为 $3$，最小值为 $1$.

(1) 求椭圆 $C$ 的标准方程； (2) 若直线 $l: y = kx + m$ 与椭圆 $C$ 相交于 $A$，$B$ 两点（$A$，$B$ 不是左右顶点），且以 $AB$ 为直径的圆过椭圆 $C$ 的右顶点，求证：直线 $l$ 过定点，并求出该定点的坐标.