若空间中 $n$ 个不同的点两两距离都相等，则正整数 $n$ 的取值（ ）

设 $a > 1$，函数 $f(x) = (1 + x^2)\mathrm{e}^x - a$.

(1) 求 $f(x)$ 的单调区间； (2) 证明：$f(x)$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 上仅有一个零点； (3) 若曲线 $y = f(x)$ 在点 $P$ 处的切线与 $x$ 轴平行，且在点 $M(m, n)$ 处的切线与直线 $OP$ 平行（$O$ 是坐标原点），证明：$m \leqslant \sqrt[3]{a - \frac{2}{\mathrm{e}}} - 1$.

已知过原点的动直线 $l$ 与圆 $C_1: x^2 + y^2 - 6x + 5 = 0$ 相交于不同的两点 $A$，$B$.

(1) 求圆 $C_1$ 的圆心坐标； (2) 求线段 $AB$ 的中点 $M$ 的轨迹 $C$ 的方程； (3) 是否存在实数 $k$，使得直线 $L: y = k(x - 4)$ 与曲线 C 只有一个交点？若存在，求出 $k$ 的取值范围；若不存在，说明理由.