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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
若集合 M={x∣(x+4)(x+1)=0}M = \{x \mid (x + 4)(x + 1) = 0\}，N={x∣(x−4)(x−1)=0}N = \{x \mid (x - 4)(x - 1) = 0\}，则 M∩N=M \cap N =（ ）
A.
{1,4}\{1, 4\}
B.
{−1,−4}\{-1,-4\}
C.
{0}\{0\}
D.
∅\varnothing

2015 · 广东 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02复数★☆☆☆☆
若复数 z=i(3−2i)z = \mathrm{i}(3 - 2\mathrm{i})（i\mathrm{i} 是虚数单位），则 z‾=\overline{z} =（ ）
A.
2−3i2 - 3\mathrm{i}
B.
2+3i2 + 3\mathrm{i}
C.
3+2i3 + 2\mathrm{i}
D.
3−2i3 - 2\mathrm{i}

2015 · 广东 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03函数与初等函数★★☆☆☆
下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）
A.
y=1+x2y = \sqrt{1 + x^2}
B.
y=x+1xy = x + \frac{1}{x}
C.
y=2x+12xy = 2^x + \frac{1}{2^x}
D.
y=x+exy = x + \mathrm{e}^{x}

2015 · 广东 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04概率与统计★★☆☆☆
袋中共有 1515 个除了颜色外完全相同的球，其中有 1010 个白球，55 个红球. 从袋中任取 22 个球，所取的 22 个球中恰有 11 个白球，11 个红球的概率为（ ）
A.
521\frac{5}{21}
B.
1021\frac{10}{21}
C.
1121\frac{11}{21}
D.
11

2015 · 广东 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05解析几何★★☆☆☆
平行于直线 2x+y+1=02x + y + 1 = 0 且与圆 x2+y2=5x^{2} + y^{2} = 5 相切的直线的方程是（ ）
A.
2x+y+5=02x + y + 5 = 0 或 2x+y−5=02x + y - 5 = 0
B.
2x+y+5=02x + y + \sqrt{5} = 0 或 2x+y−5=02x + y - \sqrt{5} = 0
C.
2x−y+5=02x - y + 5 = 0 或 2x−y−5=02x - y - 5 = 0
D.
2x−y+5=02x - y + \sqrt{5} = 0 或 2x−y−5=02x - y - \sqrt{5} = 0

2015 · 广东 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06不等式★★☆☆☆
若变量 xx，yy 满足约束条件
{4x+5y⩾8,1⩽x⩽3,0⩽y⩽2,\begin{cases} 4x + 5y \geqslant 8,\\ 1 \leqslant x \leqslant 3,\\ 0 \leqslant y \leqslant 2, \end{cases}
则 z=3x+2yz = 3x + 2y 的最小值为（ ）
A.
44
B.
235\frac{23}{5}
C.
66
D.
315\frac{31}{5}

2015 · 广东 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07解析几何★☆☆☆☆
已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1C: \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 的离心率 e=54e = \frac{5}{4}，且其右焦点为 F2(5,0)F_{2}(5,0)，则双曲线 CC 的方程为（ ）
A.
x24−y23=1\frac{x^2}{4} -\frac{y^2}{3} = 1
B.
x29−y216=1\frac{x^2}{9} -\frac{y^2}{16} = 1
C.
x216−y29=1\frac{x^2}{16} -\frac{y^2}{9} = 1
D.
x23−y24=1\frac{x^2}{3} -\frac{y^2}{4} = 1

2015 · 广东 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08立体几何初步★★★★☆
若空间中 nn 个不同的点两两距离都相等，则正整数 nn 的取值（ ）
A.
至多等于 33
B.
至多等于 44
C.
等于 55
D.
大于 55

2015 · 广东 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09计数原理与组合数学★★☆☆☆
在 (x−1)4(\sqrt{x} - 1)^4 的展开式中，xx 的系数为______.

2015 · 广东 · 理 · 第 9 题 · 填空题

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10数列★☆☆☆☆
在等差数列 {an}\{a_n\} 中，若 a3+a4+a5+a6+a7=25a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 = 25，则 a2+a8=a_2 + a_8 =______.

2015 · 广东 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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11三角函数★★☆☆☆
设 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc. 若 a=3a = \sqrt{3}，sin⁡B=12\sin B = \frac{1}{2}，C=π6C = \frac{\pi}{6}，则 b=b =______.

2015 · 广东 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12计数原理与组合数学★☆☆☆☆
某高三毕业班有 4040 人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了______ 条毕业留言. （用数字作答）

2015 · 广东 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13概率与统计★☆☆☆☆
已知随机变量 XX 服从二项分布 B(n,p)B(n,p)，若 E(X)=30E(X)=30，D(X)=20D(X)=20，则 p=‾p =\underline{\hspace{2em}}.

2015 · 广东 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14解析几何★★☆☆☆
已知直线 ll 的极坐标方程为 2ρsin⁡(θ−π4)=22\rho\sin\left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}，点 AA 的极坐标为 A(22,7π4)A\left(2\sqrt{2},\frac{7\pi}{4}\right)，则点 AA 到直线 ll 的距离为______.

2015 · 广东 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15解析几何★★★☆☆
如图，已知 ABAB 是圆 OO 的直径，AB=4AB = 4，ECEC 是圆 OO 的切线，切点为 CC，BC=1BC = 1. 过圆心 OO 作 BCBC 的平行线，分别交 ECEC 和 ACAC 于点 DD 和点 PP. 则 OD=OD =______.

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16平面向量★★☆☆☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知向量 m=(22,−22)\boldsymbol{m} = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)，n=(sin⁡x,cos⁡x)\boldsymbol{n} = (\sin x, \cos x)，x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right).
(1) 若 m⊥n\boldsymbol{m} \perp \boldsymbol{n}，求 tan⁡x\tan x 的值； (2) 若 m\boldsymbol{m} 与 n\boldsymbol{n} 的夹角为 π3\frac{\pi}{3}，求 xx 的值.

2015 · 广东 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
某工厂 3636 名工人的年龄数据如下表.
(1) 用系统抽样法从 3636 名工人中抽取容量为 99 的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为 4444，列出样本的年龄数据； (2) 计算（1）中样本的均值 x‾\overline{x} 和方差 s2s^2； (3) 3636 名工人中年龄在 x‾−s\overline{x} - s 与 x‾+s\overline{x} + s 之间有多少人？所占的百分比是多少（精确到 0.01%0.01\%）？

2015 · 广东 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，三角形 PDCPDC 所在的平面与长方形 ABCDABCD 所在的平面垂直，PD=PC=4PD = PC = 4，AB=6AB = 6，BC=3BC = 3. 点 EE 是 CDCD 边的中点，点 FF，GG 分别在线段 ABAB，BCBC 上，且 AF=2FBAF = 2FB，CG=2GBCG = 2GB.
(1) 证明：PE⊥FGPE \perp FG； (2) 求二面角 P−AD−CP - AD - C 的正切值； (3) 求直线 PAPA 与直线 FGFG 所成角的余弦值.

2015 · 广东 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★★☆
设 a>1a > 1，函数 f(x)=(1+x2)ex−af(x) = (1 + x^2)\mathrm{e}^x - a.
(1) 求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 证明：f(x)f(x) 在 (−∞,+∞)(-\infty, +\infty) 上仅有一个零点； (3) 若曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 PP 处的切线与 xx 轴平行，且在点 M(m,n)M(m, n) 处的切线与直线 OPOP 平行（OO 是坐标原点），证明：m⩽a−2e3−1m \leqslant \sqrt[3]{a - \frac{2}{\mathrm{e}}} - 1.

2015 · 广东 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
已知过原点的动直线 ll 与圆 C1:x2+y2−6x+5=0C_1: x^2 + y^2 - 6x + 5 = 0 相交于不同的两点 AA，BB.
(1) 求圆 C1C_1 的圆心坐标； (2) 求线段 ABAB 的中点 MM 的轨迹 CC 的方程； (3) 是否存在实数 kk，使得直线 L:y=k(x−4)L: y = k(x - 4) 与曲线 C 只有一个交点？若存在，求出 kk 的取值范围；若不存在，说明理由.

2015 · 广东 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21数列★★★★★
数列 {an}\{a_n\} 满足 a1+2a2+⋯+nan=4−n+22n−1a_1 + 2a_2 + \cdots + na_n = 4 - \frac{n + 2}{2^{n - 1}}，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*.
(1) 求 a3a_3 的值； (2) 求数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和 TnT_n； (3) 令 b1=a1b_1 = a_1，bn=Tn−1n+(1+12+13+⋯+1n)anb_n = \frac{T_{n - 1}}{n} + \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}\right) a_n（n⩾2n \geqslant 2），证明：数列 {bn}\{b_n\} 的前 nn 项和 SnS_n 满足 Sn<2+2ln⁡nS_n < 2 + 2 \ln n.

2015 · 广东 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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