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26复数★★★★☆
设 z=a+biz=a+b\mathrm{i}（aa，b∈Rb\in\mathbf{R}，b≠0b\neq0，i\mathrm{i} 为虚数单位），w=z+1zw=z+\frac{1}{z} 是实数，且 −1<w<2-1<w<2.
(1) 求 ∣z∣\left|z\right| 的值及 zz 的实部的取值范围； (2) 设 u=1−z1+zu=\frac{1-z}{1+z}. 求证：uu 为纯虚数； (3) 求 w−u2w-u^2 的最小值.

1996 · 上海 · 文 · 第 26 题（A） · 解答题

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26导数及其应用★★★★☆
已知 A(−1,2)A(-1,2) 为抛物线 C:y=2x2C:y=2x^2 上的点，直线 l1l_1 过点 AA，且与抛物线 CC 相切. 直线 l2:x=al_2:x=a（a≠−1a\neq-1）交抛物线 CC 于点 BB，交直线 l1l_1 于点 DD.
(1) 求直线 l1l_1 的方程； (2) 设 △ABD\triangle ABD 的面积为 S1S_1，求 ∣BD∣|BD| 及 S1S_1 的值； (3) 设由抛物线 CC，直线 l1l_1，l2l_2 所围成的图形的面积为 S2S_2，求证：S1:S2S_1:S_2 的值为与 aa 无关的常数.

1996 · 上海 · 文 · 第 26 题（B） · 解答题

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27解析几何★★★★☆
已知双曲线 SS 的两条渐近线过坐标原点，且与以点 A(2,0)A(\sqrt{2},0) 为圆心，11 为半径的圆相切，双曲线 SS 的一个顶点 A′A^\prime 与点 AA 关于直线 y=xy=x 对称.
(1) 求双曲线 SS 的方程； (2) 设直线 ll 过点 AA，斜率为 11. 在双曲线 SS 的上支上求点 BB，使其与直线 ll 的距离为 2\sqrt{2}； (3) 求双曲线 SS 上到直线 l:y=255(x−2)l:y=\frac{2\sqrt{5}}{5}\left(x-\sqrt{2}\right) 的距离为 2\sqrt{2} 的点的个数.

1996 · 上海 · 文 · 第 27 题 · 解答题

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28数列★★★★☆
设 AnA_n 为数列 {an}\{a_n\} 前 nn 项的和，An=32(an−1)A_n=\frac{3}{2}(a_n-1)（n∈Nn\in\mathbf{N}）. 数列 {bn}\{b_n\} 的通项公式为 bn=4n+3b_n=4n+3（n∈Nn\in\mathbf{N}）.
(1) 求数列 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 若 d∈{a1,a2,a3,⋯ ,an,⋯ }∩{b1,b2,b3,⋯ ,bn,⋯ }d\in\{a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n,\cdots\}\cap\{b_1,b_2,b_3,\cdots,b_n,\cdots\}，则称 dd 为数列 {an}\{a_n\} 与 {bn}\{b_n\} 的公共项. 将数列 {an}\{a_n\} 与 {bn}\{b_n\} 的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列 {dn}\{d_n\}，证明数列 {dn}\{d_n\} 的通项公式为 dn=32n+1d_n=3^{2n+1}（n∈Nn\in\mathbf{N}）.

1996 · 上海 · 文 · 第 28 题 · 解答题

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