已知在平面直角坐标系 $xOy$ 中的一个椭圆. 它的中心在原点，左焦点为 $F(-\sqrt{3}, 0)$，且右顶点为 $D(2, 0)$. 设点 $A$ 的坐标是 $\left(1, \frac{1}{2}\right)$.

(1) 求该椭圆的标准方程； (2) 若 $P$ 是椭圆上的动点，求线段 $PA$ 中点 $M$ 的轨迹方程； (3) 过原点 $O$ 的直线交椭圆于点 $B$，$C$，求 $\triangle ABC$ 面积的最大值.

已知函数 $y = x + \frac{a}{x}$ 有如下性质：如果常数 $a > 0$，那么该函数在 $(0, \sqrt{a}]$ 上是减函数，在 $[\sqrt{a}, +\infty)$ 上是增函数.

(1) 如果函数 $y = x + \frac{2^b}{x}$（$x > 0$）在 $(0,4]$ 上是减函数，在 $[4, +\infty)$ 上是增函数，求 $b$ 的值； (2) 设常数 $c \in [1,4]$，求函数 $f(x) = x + \frac{c}{x}$（$1 \leqslant x \leqslant 2$）的最大值和最小值； (3) 当 $n$ 是正整数时，研究函数 $g(x) = x^n + \frac{c}{x^n}$（$c > 0$）的单调性，并说明理由.