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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知集合 A={−1,3,m}A = \{-1, 3, m\}，集合 B={3,4}B = \{3, 4\}. 若 B⊆AB \subseteq A，则实数 m=m =______.

2006 · 上海 · 文 · 第 1 题 · 填空题

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02解析几何★☆☆☆☆
已知两条直线 l1l_{1}：ax+3y−3=0ax + 3y - 3 = 0，l2l_{2}：4x+6y−1=04x + 6y - 1 = 0. 若 l1∥l2l_{1}\parallel l_{2}，则 a=a =______.

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03指数函数与对数函数★☆☆☆☆
若函数 f(x)=axf(x) = a^x（a>0a > 0，且 a≠1a \neq 1）的反函数的图象过点 (2,−1)\left(2,-1\right)，则 a=a =______.

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04数列★☆☆☆☆
计算：lim⁡n→∞n(n2+1)6n3+1=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n(n^2 + 1)}{6n^3 + 1} =______.

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05复数★☆☆☆☆
若复数 z=(m−2)+(m+1)iz = (m - 2) + (m + 1)\mathrm{i} 为纯虚数（i\mathrm{i} 为虚单位），其中 m∈Rm \in \mathbf{R}，则 ∣z∣=|z| =______.

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06三角函数★☆☆☆☆
函数 y=sin⁡xcos⁡xy = \sin x \cos x 的最小正周期是______.

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07解析几何★★☆☆☆
已知双曲线的中心在原点，一个顶点的坐标是 (3,0)(3,0)，且焦距与虚轴长之比为 5:45:4，则双曲线的标准方程是______.

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08指数函数与对数函数★★☆☆☆
方程 log⁡3(x2−10)=1+log⁡3x\log_{3}(x^{2}-10)=1+\log_{3}x 的解是______.

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09不等式★★☆☆☆
已知实数 xx，yy 满足
{x+y−3⩾0,x+2y−5⩽0,x⩾0,y⩾0,\begin{cases} x + y - 3 \geqslant 0,\\ x + 2y - 5 \leqslant 0,\\ x \geqslant 0,\\ y \geqslant 0, \end{cases}
则 y−2xy - 2x 的最大值是______.

2006 · 上海 · 文 · 第 9 题 · 填空题

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10概率与统计★☆☆☆☆
在一个小组中有 8 名8\text{ 名} 女同学和 4 名4\text{ 名} 男同学，从中任意地挑选 2 名2\text{ 名} 同学担任交通安全宣传志愿者，那么选到的两名都是女同学的概率是______（结果用分数表示）.

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11指数函数与对数函数★★★☆☆
若曲线 ∣y∣=2x+1|y| = 2^x + 1 与直线 y=by = b 没有公共点，则 bb 的取值范围是______.

2006 · 上海 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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12计数原理与组合数学★★☆☆☆
如图，平面中两条直线 l1l_{1} 和 l2l_{2} 相交于点 OO. 对于平面上任意一点 MM，若 pp，qq 分别是 MM 到直线 l1l_{1} 和 l2l_{2} 的距离，则称有序非负实数对 (p,q)(p, q) 是点 MM 的“距离坐标”. 根据上述定义，“距离坐标”是 (1,2)(1,2) 的点的个数是______.

2006 · 上海 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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13平面向量★☆☆☆☆
如图，在平行四边形 ABCDABCD 中，下列结论中错误的是（ ）
A.
AB→=DC→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}
B.
AD→+AB→=AC→\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC}
C.
AB→−AD→=BD→\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BD}
D.
AD→+CB→=0→\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{0}

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14不等式★☆☆☆☆
如果 a<0a < 0，b>0b > 0，那么，下列不等式中正确的是（ ）
A.
1a<1b\frac{1}{a} < \frac{1}{b}
B.
−a<b\sqrt{-a} < \sqrt{b}
C.
a2<b2a^2 < b^2
D.
∣a∣>∣b∣|a| > |b|

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15集合与逻辑基础★☆☆☆☆
若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的（ ）
A.
充分非必要条件
B.
必要非充分条件
C.
充分必要条件
D.
既非充分又非必要条件

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16立体几何初步★★★☆☆
如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”. 在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（ ）
A.
4848
B.
1818
C.
2424
D.
3636

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17三角函数★★☆☆☆
已知 α\alpha 是第一象限的角，且 cos⁡α=513\cos \alpha = \frac{5}{13}，求 sin⁡(α+π4)cos⁡(2α+4π)\frac{\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)}{\cos(2\alpha + 4\pi)} 的值.

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18三角函数★★★☆☆
如图，当甲船位于 AA 处时获悉，在其正东方向相距 20 海里20\text{ 海里} 的 BB 处有一艘渔船遇险等待营救. 甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西 30∘30^{\circ}，相距 10 海里10\text{ 海里} CC 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往 BB 处救援？（角度精确到 1∘1^{\circ}）

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19立体几何初步★★★☆☆
在直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1} 中，∠ABC=90∘\angle ABC = 90^{\circ}，AB=BC=1AB = BC = 1.
(1) 求异面直线 B1C1B_{1}C_{1} 与 ACAC 所成角的大小； (2) 若 A1CA_{1}C 与平面 ABCABC 所成角为 45∘45^{\circ}，求三棱锥 A1−ABCA_{1} - ABC 的体积.

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20数列★★★☆☆
设数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n，且对任意正整数 nn，an+Sn=4096a_n + S_n = 4096.
(1) 求数列 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 设数列 {log⁡2an}\{\log_2 a_n\} 的前 nn 项和为 TnT_n，对数列 {Tn}\{T_n\}，从第几项起 Tn<−509T_n < -509？

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21解析几何★★★★☆
已知在平面直角坐标系 xOyxOy 中的一个椭圆. 它的中心在原点，左焦点为 F(−3,0)F(-\sqrt{3}, 0)，且右顶点为 D(2,0)D(2, 0). 设点 AA 的坐标是 (1,12)\left(1, \frac{1}{2}\right).
(1) 求该椭圆的标准方程； (2) 若 PP 是椭圆上的动点，求线段 PAPA 中点 MM 的轨迹方程； (3) 过原点 OO 的直线交椭圆于点 BB，CC，求 △ABC\triangle ABC 面积的最大值.

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22函数与初等函数★★★★☆
已知函数 y=x+axy = x + \frac{a}{x} 有如下性质：如果常数 a>0a > 0，那么该函数在 (0,a](0, \sqrt{a}] 上是减函数，在 [a,+∞)[\sqrt{a}, +\infty) 上是增函数.
(1) 如果函数 y=x+2bxy = x + \frac{2^b}{x}（x>0x > 0）在 (0,4](0,4] 上是减函数，在 [4,+∞)[4, +\infty) 上是增函数，求 bb 的值； (2) 设常数 c∈[1,4]c \in [1,4]，求函数 f(x)=x+cxf(x) = x + \frac{c}{x}（1⩽x⩽21 \leqslant x \leqslant 2）的最大值和最小值； (3) 当 nn 是正整数时，研究函数 g(x)=xn+cxng(x) = x^n + \frac{c}{x^n}（c>0c > 0）的单调性，并说明理由.

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