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19
导数及其应用
★★★★☆
设
a
>
0
a > 0
a
>
0
，讨论函数
f
(
x
)
=
ln
x
+
a
(
1
−
a
)
x
2
−
2
(
1
−
a
)
x
f(x) = \ln x + a(1 - a)x^2 - 2(1 - a)x
f
(
x
)
=
ln
x
+
a
(
1
−
a
)
x
2
−
2
(
1
−
a
)
x
的单调性.
2011 · 广东 · 文 · 第 19 题 · 解答题
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20
数列
★★★★☆
设
b
>
0
b > 0
b
>
0
，数列
{
a
n
}
\{a_{n}\}
{
a
n
}
满足
a
1
=
b
a_{1} = b
a
1
=
b
，
a
n
=
n
b
a
n
−
1
a
n
−
1
+
n
−
1
a_{n} = \frac{nba_{n - 1}}{a_{n - 1} + n - 1}
a
n
=
a
n
−
1
+
n
−
1
nb
a
n
−
1
（
n
⩾
2
n \geqslant 2
n
⩾
2
）.
(1) 求数列
{
a
n
}
\{a_{n}\}
{
a
n
}
的通项公式； (2) 证明：对于一切正整数
n
n
n
，
2
a
n
⩽
b
n
+
1
+
1
2a_{n} \leqslant b^{n+1} + 1
2
a
n
⩽
b
n
+
1
+
1
.
2011 · 广东 · 文 · 第 20 题 · 解答题
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